三角形內角和定理證明中化歸思想的滲透

　　三角形內角和定理  三角形三個內角的和等干180°．

　　已知：△ABC(如圖1).求證：∠A+∠B+∠C=180°．

　　三角形內角和定理有多種證明方法，那么，這些證法都是怎樣想到的呢?我們下面來作一下分析，

　　思路一  要證明三角形的三個內角之和等于180°，聯想到平角的大小是180°．因此，便設法將三角形的三個內角拼成一個平角，為此，用輔助線構造出一個平角，再用輔助線(平行線)"移動"內角，將其集中起來，或用其它方法將其集中起來，這就是"拼角"的思路[!--empirenews.page--].

　　根據這個思路，可設計出多種證法，證法如下：

　　證法一  延長邊BC，CD是延長線，并過頂點C作CE∥BA（如圖2），則∠1=∠A(兩直線平行，內錯角相等)，∠2=∠B(兩直線平行，同位角相等).

　　又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°  (平角的定義)，[!--empirenews.page--]

∴∠A+∠B+∠ACB＝180°.

　　證法二  過頂點C作DE∥AB(如圖3)，則∠1＝∠A，∠2＝∠B(兩直線平行，內錯角相等)．

　　又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°(平角的定義)，

[!--empirenews.page--]∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

　　證法三在BC邊上任取一點D，作DE∥BA，DF∥CA，分別交AC于E，交AB于F(如圖4)，則有∠2＝∠B，∠3＝∠[!--empirenews.page--]C(兩直線平行，同位角相等)，

　　∠1＝∠4(兩直線平行，內錯角相等)，

　　∠4＝∠A(兩直線平行，同位角相等)，

　　∴∠1＝∠A(等量代換).

　　又∵∠1+∠2+∠3＝180°(平角的定義)，

∴∠A+∠B+∠C＝180°.

　　證法四  作BC的延長線CD，在△ABC的外部以CA為一邊，CE為另一邊畫∠1＝∠A(如圖5)，于是CE∥BA(內錯角相等，兩直線平行).

　　∴∠B＝∠2(兩直線平行，同位角相等).

　　又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°[!--empirenews.page--](平角的定義)，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

　　證法五  在△ABC的內部任取一點D，連結AD、BD，并延長分別交邊BC、AC于點E、F，再連結CD(如圖6)，則有∠7=∠1+∠2，∠8＝∠3+∠4，∠9=∠5+∠6(三角形的任何一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和[!--empirenews.page--]).

　　又∵∠7+∠8+∠9=180° (平角的定義)，

　　∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.

即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°．

　　思路二 我們知道，平行線的同旁內角之和為180°，那么，能否將三角形的三個內角拼成平行線的一組同旁內角呢?

　　根據這一思路，也可以設計出多種證法，證法如下：

　　證法六  過頂點C作CD∥BA(如圖7)，則∠1＝∠A(兩直線平行，內錯角相等)．

　　∵CD∥BA.

　　∴∠1+∠ACB+∠B＝180°(兩直線平行，同旁內角互補)．

∴∠A+∠ACB+[!--empirenews.page--]∠B＝180°.

　　證法七  任作射AD交BC于D，分別過點B、C作BE∥DA，CF∥DA(如圖8)，則有∠1＝∠3，∠2＝∠4(兩直線平行，內錯角相等).

　　∵BE∥[!--empirenews.page--]DA，CF∥DA，

　　∴BE∥CF.

　　∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4＝180°(兩直線平行，同旁內角互補)．

　　∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2＝180°.

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°.

上面兩種證明思路，都是化歸思想的體現．這種思想是一種重要的解題策略，它可以幫助我們確定思考的方向.

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