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證明三角形全等的常見(jiàn)思路有哪些？

2008-05-06 10:17:02 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)

        全等三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，全等三角形的學(xué)習(xí)是幾何入門較關(guān)鍵的一步，這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的好壞直接影響著今后的學(xué)習(xí)。而一些初學(xué)的同學(xué)，雖然學(xué)習(xí)了幾種判定三角形全等的公理和推論，但往往仍不知如何根據(jù)已知條件證明兩個(gè)三角形全等。在輔導(dǎo)時(shí)可以抓住以下幾種證明三角形全等的常見(jiàn)思路，進(jìn)行分析。

        一、已知一邊與其一鄰角對(duì)應(yīng)相等

        1.證已知角的另一邊對(duì)應(yīng)相等，再用SAS證全等。

        例1 已知：如圖1，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求證：AF=DE.（原九義教材《幾何》二冊(cè)30頁(yè)1題）

        證明 ∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE.

        在△ABF和△DCE中，

        ∴ △ABF≌△DCE（SAS）。

        ∴ AF=DE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。

        2.證已知邊的另一鄰角對(duì)應(yīng)相等，再用ASA證全等。

        例2 已知：如圖2，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB.求證：AE=CE.（原九義教材《幾何》二冊(cè)44頁(yè)5題）

        證明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。

        在△ADE和△CFE中，

        ∴ △ADE≌△CFE（ASA）。

        ∴ AE=CE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

        3.證已知邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，再用AAS證全等。

        例3 （同例2）。

        證明 ∵ FC∥AB（已知），

        ∴ ∠A=∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。

        在△ADE和△CFE中，

        ∴ △ADE≌△CFE（AAS）。

        ∴ AE=CE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。

        二、已知兩邊對(duì)應(yīng)相等

        1.證兩已知邊的夾角對(duì)應(yīng)相等，再用SAS證等。

        例4 已知：如圖3，AD=AE，點(diǎn)D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2.求證： △ABD≌△ACE.（原九義材《幾何》二冊(cè)32頁(yè)8題）；

        證明 ∵∠1=∠2（已知），

        ∠ADB=180°-∠1，

        ∠AEC=180°-∠2（鄰補(bǔ)角定義），

        ∴∠ADB = ∠AEC，

        在△ABD和△ACE中，

        ∴ △ABD≌△ACE（SAS）。

        2.證第三邊對(duì)應(yīng)相等，再用SSS證全等。

        例5 已知：如圖4，點(diǎn)A、C、B、D在同一直線上，AC=BD，AM=CN， BM=DN.求證： AM∥CN，BM∥DN.（原九義教材《幾何》二冊(cè)45頁(yè)10題）

        證明 ∵ AC=BD（已知） ∴AC+BC=BD+BC，

        即 AB=CD.

        在△ABM和△CDN中，

        ∴ △ABM≌△CDN（SSS）

        ∴ ∠A=∠NCD，∠ABM=∠D（全等三角應(yīng)角相等），

        ∴ AM∥CN，BM∥DN（同位角相等，兩直行）。

        三、已知兩角對(duì)應(yīng)相等

        1.證兩已知角的夾邊對(duì)應(yīng)相等，再用ASA證全等。

        例6 已知：如圖5，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，F(xiàn)B=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求證： AB=DE， AC=DF.（原九義教材《幾何》二冊(cè)44頁(yè)4題，有改動(dòng)）

        證明 ∵ FB=CE（已知）

        ∴ FB+FC=CE+FC， 即 BC=EF，

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        ∴ △ABC≌△DEF（ASA）。

        ∴ AB=DE，AC=DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

        2.證一已知角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，再用AAS證全等。

        例7 已知：如圖6，AB、CD交于點(diǎn)O，E、F為AB上兩點(diǎn)，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF. 求證：△ACE≌△BDF.

        證明 ∵OA=OB，OE=OF已知），∴OA-OE=OB-OF，即 AE=BF，

        在△ACE和△BDF中，

        ∴ △ACE≌△BDF（AAS）。

        四、已知一邊與其對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，則可證另一角對(duì)應(yīng)相等，再利用AAS證全等

        例8 已知：如圖7，在△ABC中，B、D、E、C在一條直線上，AD=AE，∠B=∠C.\

        證：△ABD≌△ACE.

        證明∵AD=AE（已知）

        ∴∠1=∠2（等邊對(duì)等角），

        ∵ ∠ADB=∠180°-∠1，

        ∠AEC=180°-∠2（鄰補(bǔ)角定義），

        ∴ ∠ADB=∠AEC，

        在△ABD和△ACE中，

        ∴△ABD≌△ACE（AAS）。

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