初二數(shù)學精華一元一次不等式（組）

1、不等式與等式的性質(zhì)類比。

對于等式（例如a=b）的性質(zhì)，我們比較熟悉。不等式（例如a>b或a 等式有兩個基本性質(zhì)：

1、等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，等號不變。（即兩邊仍然相等）。

2、等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于

0的數(shù)，符號不變（即兩邊仍然相等）。

按“類比”思想考慮問題，自然會問：不等式是否也具有這樣相類似的性質(zhì)，通過實例的反復檢驗得到的回答是對的，即有。

不等式的性質(zhì)；1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變（即原來大的一邊仍然大，原來較小的一邊仍然較小）。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變（即原來較大的一邊反而較小，原來較小的一邊反而較大）。

例如：-x>20, 兩邊都乘以-5，得，
x<-100，（變形根據(jù)是不等式基本性質(zhì)3）。
等式的基本性質(zhì)是等式變形的根據(jù)，與此類似，不等式的基本性質(zhì)是不等式變形的根據(jù)。

2、不等式的解與方程的解的類比

從形式上看，含有未知數(shù)的不等式與方程是類似的。按“類比”思想來考慮問題，同樣可以仿效方程解的意義來理解不等式的解的意義。

例如：當x=3時，方程x+4=7兩邊的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而當x=2時，方程x+4=7兩邊值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。

類似地當x=5不等式x+4>7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一個解。若x=2不等式x+4>7不成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。

注意：1、不等式與方程的解的意義雖然非常類似，但它們的解的情況卻有重大的區(qū)別。一般地說，一元方程只有一個或幾個解；而含有未知數(shù)的不等式，一般都有無數(shù)多個解。

例如：x+6=5只有一個解x=-1，在數(shù)軸上表示出來只是一個點，如圖，

而不等式x+6>5則有無數(shù)多個解-----大于-1的任何一個數(shù)都是它的解。它的解集是x>-1，在數(shù)軸上表示出來是一個區(qū)間，如圖

2、符號“≥”讀作“大于或等于”或也可以理解為“不小于”；符號“≤”讀作“小于或等于”或可以理解為“不大于”。

例如；在數(shù)軸上表示出下列各式：
（1）x≥2 （2）x<-2 （3）x>1 （4）x≤-1

解：
x≥2 x<-2 x>1 x≤-1

3、不等式解法與方程的解法類比。

從形式上看，一元一次不等式與一元一次方程是類似的。在學習一元一次方程時利用等式的兩個基本性質(zhì)求得一元一次方程解，按“類比”思想考慮問題自然會推斷出若用不等式的三條基本性質(zhì)，采用與解一元一次方程相類似的步驟去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。

例如：解下列方程和不等式：
=+1

≥+1

解：3(2+x)=2(2x-1)+6 1、去分母： 解：3(2+x)≥2(2x-1)+6
6+3x=4x-2+6 2、去括號： 6+3x≥4x-2+6
3x-4x=-2+6-6 3、移項： 3x-4x≥-2+6-6
-x=-2 4、合并同類項： -x≥-2
x=2 5、系數(shù)化為1： x≤2
∴ x=2是原方程的解 ∴ x≤2是原不等式的解集。

注意：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟雖然完全相同，但是要注意步驟1和5，如果乘數(shù)或除數(shù)是負數(shù)時，解不等式時要改變不等號的方向。

六、帶有附加條件的不等式：

例1，求不等式(3x+4)-3≤7的較大整數(shù)解。

分析：此題是帶有附加條件的不等式，這時應(yīng)先求不等式的解集，再在解集中，找出滿足附加條件的解。 [!--empirenews.page--]

解： (3x+4)-

3≤7
去分母： 3x+4-6≤14
移項： 3x≤14-4+6
合并同類項： 3x≤16
系數(shù)化為1： x≤5
∴ x≤5的較大整數(shù)解為x=5

例2，x取哪些正整數(shù)時，代數(shù)式3-的值不小于代數(shù)式的值？

解：依題意需求不等式3-≥的解集。
解這個不等式：
去分母：24-2(x-1)≥3(x+2)
去括號： 24-2x+2≥3x+6
移項： -2x-3x≥6-24-2
合并同類項

： -5x≥-20
系數(shù)化為1： x≤4
∴ x=4的正整數(shù)為x=1, 2, 3, 4.

答：當x取1, 2, 3, 4時，代數(shù)式3-的值不小于代數(shù)式的值。
例3，當k取何值時，方程x-2k=3(x-k)+1的解為負數(shù)。

分析：應(yīng)先解關(guān)于x的字母系數(shù)方程，即找到x的表達式，再解帶有附加條件的不等式。

解：解關(guān)于x的方程：x-2k=3(x-k)+1
去分母： x-4k=6(x-k)+2
去括號： x-4k=6x-6k+2
移項： x-6x=-6k+2+4k
合并同類項： -5x=2-2k
系數(shù)化為1： x==

.
要使x為負數(shù)，即x=<0，
∵ 分母>0，∴ 2k-2<0, ∴ k<1，
∴ 當k<1時，方程x-2k=3(x-k)+1的解是負數(shù)。

例4，若|3x-6|+(2x-y-m)²=0，求m為何值時y為正數(shù)。

分析：目前我們學習過的兩個非負數(shù)問題，一個是少有值為非負數(shù)，另一個是完全平方數(shù)是非負數(shù)。由非負數(shù)的概念可知，兩個非負數(shù)的和等于0，則這兩個非負數(shù)只能為零。由這個性質(zhì)此題可轉(zhuǎn)化為方程組來解。由此求出y的表達式再解關(guān)于m的不等式。

解：∵ |3x-6|+(2x-y-m)²=0,
∴ ∴
解方程組得

要使y為正數(shù)，即4-m>0, ∴ m<4.
∴ 當m<4時，y為正數(shù)。

注意：要明確“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超過”、“至多”、“至少”、“非負數(shù)”、“正數(shù)”、“負數(shù)”、“負整數(shù)”……這些描述不等關(guān)系的語言所對應(yīng)的不等號各是什么。求帶有附加條件的不等式時需要先求這個不等式的所有的解，即這個不等式的解集，然后再從中篩選出符合要求的解。 [!--empirenews.page--]

七、字母系數(shù)的不等式：

例：解關(guān)于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3

分析：由于x是未知數(shù)，所以應(yīng)把a看作已知數(shù)，又由于a可以是任意有理數(shù)，所以在應(yīng)用同解原理時，要區(qū)別情況，進行分類討論。

解：移項，得3(a+1)x-2ax≥3-3a
合并同類項： (a+3)x≥3-3a
(1)當a+3>0，即a>-3時，x≥,
(2)當a+3=0，即a=-3時，0x≥12，不等式無解。
(3)當a+3<0，即a<-3時，x≤。

注意：在處理字母系數(shù)的不等式時，首先要弄清哪一個字母是未知數(shù)，而把其他字母看作已知數(shù)，在運用同解原理把未知數(shù)的系數(shù)化為1時，應(yīng)作合理的分類，逐一討論，例題中只有分為a+3>0, a+3=0, a+3<0, 三種情況進行研究，才有完整地解出不等式，這種處理問題的方法叫做“分類討論”。