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二次函數(shù)的頂點坐標

2018-07-26 22:31:23  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

  二次函數(shù)的頂點坐標!同學(xué)們了解二次函數(shù)嗎?二次函數(shù)的基本表示形式為y=ax²+bx+c(a≠0)。二次函數(shù)較高次必須為二次, 二次函數(shù)的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。下面為大家分享二次函數(shù)的頂點坐標!希望能幫到大家!

 


  二次函數(shù)的頂點坐標


  一、基本簡介


  一般地,我們把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù),其中a稱為二次項系數(shù),b為一次項系數(shù),c為常數(shù)項。x為自變量,y為因變量。等號右邊自變量的較高次數(shù)是2。


  主要特點


  “變量”不同于“未知數(shù)”,不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的較高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)”。“未知數(shù)”只是一個數(shù)(具體值未知,但是只取一個值),“變量”可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念(函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù),但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù),一般都表示一個數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況),但是函數(shù)中的字母表示的是變量,意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別.如同函數(shù)不等于函數(shù)關(guān)系。


  二次函數(shù)圖像與X軸交點的情況


  當(dāng)△=b2-4ac>0時,函數(shù)圖像與x軸有兩個交點。


  當(dāng)△=b2-4ac=0時,函數(shù)圖像與x軸只有一個交點。


  當(dāng)△=b2-4ac<0時,函數(shù)圖像與x軸沒有交點。


  二、二次函數(shù)圖像


  在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。如果所畫圖形準確無誤,那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。


  軸對稱


  二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a


  對稱軸與二次函數(shù)圖像先進的交點為二次函數(shù)圖像的頂點P。


  特別地,當(dāng)b=0時,二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸(即直線x=0)。


  a,b同號,對稱軸在y軸左側(cè).


  a,b異號,對稱軸在y軸右側(cè).


  頂點


  二次函數(shù)圖像有一個頂點P,坐標為P(h,k)即(-b/2a,(4ac-b2/4a).


  當(dāng)h=0時,P在y軸上;當(dāng)k=0時,P在x軸上。即可表示為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k。


  h=-b/2a,k=(4ac-b2)/4a。


  開口方向和大小


  二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。


  當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。


  |a|越大,則二次函數(shù)圖像的開口越小。


  決定對稱軸位置的因素折疊


  一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。


  當(dāng)a>0,與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號


  當(dāng)a>0,與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號


  可簡單記憶為左同右異,即當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。


  事實上,b有其自身的幾何意義:二次函數(shù)圖像與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值?赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。


  決定與y軸交點的因素


  常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。


  二次函數(shù)圖像與y軸交于(0,C)


  注意:頂點坐標為(h,k),與y軸交于(0,C)。


  與x軸交點個數(shù)


  a<0;k>0或a>0;k<0時,二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點。


  k=0時,二次函數(shù)圖像與x軸只有1個交點。


  a<0;k<0或a>0,k>0時,二次函數(shù)圖像與X軸無交點。


  當(dāng)a>0時,函數(shù)在x=h處取得較小值ymin=k,在xh范圍內(nèi)是增函數(shù)(即y隨x的變大而變小),二次函數(shù)圖像的開口向上,函數(shù)的值域是y>k


  當(dāng)a<0時,函數(shù)在x=h處取得較大值ymax=k,在xh范圍內(nèi)是減函數(shù)(即y隨x的變大而變大),二次函數(shù)圖像的開口向下,函數(shù)的值域是y


  當(dāng)h=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函數(shù)是偶函數(shù)


  三、二次函數(shù)公式匯總:交點式、兩根式


  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:


  (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0),則稱y為x的二次函數(shù)。頂點坐標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)


  (2)頂點式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0)。


  (3)交點式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2)


  (4)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0.


  說明:


  (1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當(dāng)k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點。


  (2)當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時,即對應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根x1和x2存在時,根據(jù)二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)。


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