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[復(fù)習(xí)資料]初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

2014-09-03 13:20:50  來(lái)源:上海智康1對(duì)1

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  1.常量和變量

  在某變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.在某變化過(guò)程中保持同一數(shù)值的量或數(shù),叫常量或常數(shù).

  2.函數(shù)

  設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x在某一范圍的每一個(gè)值,y都有的值與它對(duì)應(yīng),那么就說(shuō)x是自變量,y是x的函數(shù).

  3.自變量的取值范圍

  (1)整式:自變量取一切實(shí)數(shù).

  (2)分式:分母不為零.

  (3)偶次方根:被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

  (4)零指數(shù)與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:底數(shù)不為零.

  4.函數(shù)值

  對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值,如當(dāng)x=a時(shí),函數(shù)有確定的對(duì)應(yīng)值,這個(gè)對(duì)應(yīng)值,叫做x=a時(shí)的函數(shù)值.

  5.函數(shù)的表示法

  (1)解析法;(2)列表法;(3)圖象法.

  6.函數(shù)的圖象

  把自變量x的一個(gè)值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),可以在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出一個(gè)點(diǎn),所有這些點(diǎn)的集合,叫做這個(gè)函數(shù)的圖象.

  由函數(shù)解析式畫函數(shù)圖象的步驟:

  (1)寫出函數(shù)解析式及自變量的取值范圍;

  (2)列表:列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值;

  (3)描點(diǎn):以表中對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo),在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn);

  (4)連線:用平滑曲線,按照自變量由小到大的順序,把所描各點(diǎn)連接起來(lái).

  7.一次函數(shù)

  (1)一次函數(shù)

  如果y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0),那么y叫做x的一次函數(shù).

  特別地,當(dāng)b=0時(shí),一次函數(shù)y=kx+b成為y=kx(k是常數(shù),k≠0),這時(shí),y叫做x的正比例函數(shù).

  (2)一次函數(shù)的圖象

  一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條經(jīng)過(guò)(0,b)點(diǎn)和 點(diǎn)的直線.

  特別地,正比例函數(shù)圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線.

  需要說(shuō)明的是,在平面直角坐標(biāo)系中,“直線”并不等價(jià)于“一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象”,因?yàn)檫有直線y=m(此時(shí)k=0)和直線x=n(此時(shí)k不存在),它們不是一次函數(shù)圖象.

  (3)一次函數(shù)的性質(zhì)

  當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減。

  直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b),與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .

  (4)用函數(shù)觀點(diǎn)看方程(組)與不等式

 、偃魏我辉淮畏匠潭伎梢赞D(zhuǎn)化為ax+b=0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為:一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0),當(dāng)y=0時(shí),求相應(yīng)的自變量的值,從圖象上看,相當(dāng)于已知直線y=kx+b,確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

 、诙淮畏匠探M 對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù),于是也對(duì)應(yīng)兩條直線,從“數(shù)”的角度看,解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)值相等,以及這兩個(gè)函數(shù)值是何值;從“形”的角度看,解方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).

 、廴魏我辉淮尾坏仁蕉伎梢赞D(zhuǎn)化ax+b>0或ax+b<0(a、b為常數(shù),a≠0)的形式,解一元一次不等式可以看做:當(dāng)一次函數(shù)值大于0或小于0時(shí),求自變量相應(yīng)的取值范圍.

  8.反比例函數(shù)

  (1)反比例函數(shù)

  如果 (k是常數(shù),k≠0),那么y叫做x的反比例函數(shù).

  (2)反比例函數(shù)的圖象

  反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.

  (3)反比例函數(shù)的性質(zhì)

 、佼(dāng)k>0時(shí),圖象的兩個(gè)分支分別在先進(jìn)、三象限內(nèi),在各自的象限內(nèi),y隨x的增大而減。

 、诋(dāng)k<0時(shí),圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限內(nèi),在各自的象限內(nèi),y隨x的增大而增大.

  ③反比例函數(shù)圖象關(guān)于直線y=±x對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

  (4)k的兩種求法

 、偃酎c(diǎn)(x0,y0)在雙曲線 上,則k=x0y0.

  ②k的幾何意義:

  若雙曲線 上任一點(diǎn)A(x,y),AB⊥x軸于B,則S△AOB

  (5)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

  若正比例函數(shù)y=k1x(k1≠0),反比例函數(shù) ,則

  當(dāng)k1k2<0時(shí),兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn);

  當(dāng)k1k2>0時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),坐標(biāo)分別為 由此可知,正反比例函數(shù)的圖象若有交點(diǎn),兩交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

  1.二次函數(shù)

  如果y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0),那么y叫做x的二次函數(shù).

  幾種特殊的二次函數(shù):y=ax2(a≠0);y=ax2+c(ac≠0);y=ax2+bx(ab≠0);y=a(x-h(huán))2(a≠0).

  2.二次函數(shù)的圖象

  二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是對(duì)稱軸平行于y軸的一條拋物線.

  由y=ax2(a≠0)的圖象,通過(guò)平移可得到y(tǒng)=a(x-h(huán))2+k(a≠0)的圖象.

  3.二次函數(shù)的性質(zhì)

  二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)對(duì)應(yīng)在它的圖象上,有如下性質(zhì):

  (1)拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是 ,對(duì)稱軸是直線 ,頂點(diǎn)必在對(duì)稱軸上;

  (2)若a>0,拋物線y=ax2+bx+c的開口向上,因此,對(duì)于拋物線上的任意一點(diǎn)(x,y),當(dāng)x< 時(shí),y隨x的增大而減;當(dāng)x> 時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x= ,y有較小值 ;

  若a<0,拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,因此,對(duì)于拋物線上的任意一點(diǎn)(x,y),當(dāng)x< ,y隨x的增大而增大;當(dāng) 時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x= 時(shí),y有較大值 ;

  (3)拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)為(0,c);

  (4)在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,令y=0可得到拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的情況:

  當(dāng)D=b2-4ac>0,拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),它們的坐標(biāo)分別是 和 ,這兩點(diǎn)的距離為 ;當(dāng)D=0時(shí),拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),即為此拋物線的頂點(diǎn) ;當(dāng)D<0時(shí),拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒(méi)有公共點(diǎn).

  4.拋物線的平移

  拋物線y=a(x-h(huán))2+k與y=ax2形狀相同,位置不同.把拋物線y=ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到拋物線y=a(x-h(huán))2+k.平移的方向、距離要根據(jù)h、k的值來(lái)決定.

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