對(duì)小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)車問題的化歸與優(yōu)化

　　“發(fā)車”是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題。解決“發(fā)車問題”需要一定的策略和技巧。本文重點(diǎn)解決這樣兩個(gè)問題：一是在探索過程中，如何揭示“發(fā)車問題”的實(shí)質(zhì)?二是在建模的過程中，如何選擇較簡明、較嚴(yán)謹(jǐn)和較易于孩子理解并接受的方法或情景?

　　為便于敘述，現(xiàn)將“發(fā)車問題”進(jìn)行一般化處理：某人以勻速行走在一條公交車線路上，線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站均每隔相等的時(shí)間發(fā)一次車。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔a分鐘駛過一輛公交車，而從迎面每隔b分鐘就有一輛公交車駛來。問：公交車站每隔多少時(shí)間發(fā)一輛車?(假如公交車的速度不變，而且中間站停車的時(shí)間也忽略不計(jì)。)

　　一、把“發(fā)車問題”化歸為“和差問題”

　　因?yàn)檐囌久扛粝嗟鹊臅r(shí)間發(fā)一次車，所以同向的、前后的兩輛公交車間的距離相等。這個(gè)相等的距離也是公交車在發(fā)車間隔時(shí)間內(nèi)行駛的路程。我們把這個(gè)相等的距離假設(shè)為“1”。

　　根據(jù)“同向追及”，我們知道：公交車與行人a分鐘所走的路程差是1，即公交車比行人每分鐘多走1/a，1/a就是公交車與行人的速度差。

　　根據(jù)“相向相遇”，我們知道：公交車與行人b分鐘所走的路程和是1，即公交車與行人每分鐘一共走1/b，1/b就是公交車和行人的速度和。

　　這樣，我們把“發(fā)車問題”化歸成了“和差問題”。根據(jù)“和差問題”的解法：大數(shù)=(和+差)÷2，小數(shù)=(和-差)÷2，可以很容易地求出公交車的速度是(1/a+1/b)÷2。又因?yàn)楣�交車在這個(gè)“間隔相等的時(shí)間”內(nèi)行駛的路程是1，所以再用“路程÷速度=時(shí)間”，我們可以求出問題的答案，即公交車站發(fā)車的間隔時(shí)間是1÷【(1/a+1/b)÷2】=2÷(1/a+1/b)。

　　二、把“發(fā)車問題”優(yōu)化為“往返問題”

　　如果這個(gè)行人在起點(diǎn)站停留m分鐘，恰好發(fā)現(xiàn)車站發(fā)n輛車，那么我們就可以求出車站發(fā)車的間隔時(shí)間是m÷n分鐘。但是，如果行人在這段時(shí)間內(nèi)做個(gè)“往返運(yùn)動(dòng)”也未嘗不可，那么他的“往返”決不會(huì)影響答案的準(zhǔn)確性。

　　因?yàn)閺钠瘘c(diǎn)站走到終點(diǎn)站，行人用的時(shí)間不一定被a和b都整除，所以他見到的公交車輛數(shù)也不一定是整數(shù)。故此，我們不讓他從起點(diǎn)站走到終點(diǎn)站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢?或者說讓他走多長時(shí)間再立即返回呢?

　　取a和b的公倍數(shù)(如果是具體的數(shù)據(jù)，較好取較小公倍數(shù))，我們這里取ab。假如剛剛有一輛公交車在起點(diǎn)站發(fā)出，我們讓行人從起點(diǎn)站開始行走，先走ab分鐘，然后馬上返回;這時(shí)恰好是從行人背后駛過第b輛車。當(dāng)行人再用ab分鐘回到起點(diǎn)站時(shí)，恰好又是從迎面駛來第a輛車。也就是說行人返回起點(diǎn)站時(shí)第(a+b)輛公交車正好從車站開出，即起點(diǎn)站2ab分鐘開出了(a+b)輛公交車。

　　這樣，就相當(dāng)于在2ab分鐘的時(shí)間內(nèi)，行人在起點(diǎn)站原地不動(dòng)看見車站發(fā)出了(a+b)輛車。于是我們求出車站發(fā)車的間隔時(shí)間也是2ab÷(a+b)=2÷(1/a+1/b)。

　　這樣的往返假設(shè)也許更符合“發(fā)車問題”的情景，更簡明、更嚴(yán)謹(jǐn)，也更易于孩子理解和接受。如果用具體的時(shí)間代入，則會(huì)更加形象，更便于說明問題。

　　三、請(qǐng)用上述兩種方法，試一試，解答下面兩題：

　　1、小紅在環(huán)形公路上行走，每隔6分鐘就可以看見一輛公共汽車迎面開來，每隔9分鐘就有一輛公共汽車從背后超過她。如果小紅步行的速度和公共汽車的速度各自都保持一定，而汽車站每隔相等的時(shí)間向相反的方向各發(fā)一輛公共汽車，那么汽車站發(fā)車的間隔時(shí)間是多少?

　　2、小明從東城到西城去，一共用了24分鐘。兩城之間同時(shí)并且每隔相等的時(shí)間對(duì)發(fā)一輛公共汽車。他出發(fā)時(shí)恰好有一輛公共汽車從東城發(fā)出，之后他每隔4分鐘看見一輛公共汽車迎面開來，每隔6分鐘有一輛公共汽車從背后超過。問小明從東城出發(fā)與到達(dá)西城這段時(shí)間內(nèi)，一共有多少輛公共汽車從東城發(fā)出?

　　四、下面三題也是發(fā)車問題，試一試，揭示問題實(shí)質(zhì)。

　　3、從電車總站每隔一定時(shí)間開出一輛電車。甲和乙兩人在一條街上沿著同一方向步行，甲每分鐘步行82千米，每隔10分鐘遇上一輛迎面而來的電車;乙每分鐘步行60米，每隔10分15秒遇上迎面開來的一輛電車。電車總站每隔__分鐘開出一輛電車。

　　[題說] 1997年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽A卷第12題

　　答案：11(分鐘)

　　4、有一路電車的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站。每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)開往乙站。全程要走15分鐘。有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站。他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站。在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車，才到達(dá)甲站。這時(shí)候，恰好又有一輛電車從甲站開出。問他從乙站到甲站用了多少分鐘?

　　[題說] 先進(jìn)屆“華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽”初賽第16題

　　答案：40(分鐘)

　　5、一條雙向鐵路上有11個(gè)車站。相鄰兩站都相距7公里。從早晨7點(diǎn)開始，有18列貨車由第十一站順次發(fā)出，每隔5分鐘發(fā)出一列，都駛向先進(jìn)站，速度都是每小時(shí)60公里。早晨8點(diǎn)，由先進(jìn)站發(fā)出一列客車，向第十一站駛?cè)�，時(shí)速是100公里，在到達(dá)終點(diǎn)站前，貨車與客車都不�？咳魏我徽�，問：在哪兩個(gè)相鄰站之間，客車能與3列貨車先后相遇?

　　[題說] 第三屆“華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽”決賽二試第6題

　　答案：在第5個(gè)站與第6個(gè)站之間，客車與三列貨車相遇。