點(diǎn)到直線的距離公式

2018-07-26 16:26:42 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　點(diǎn)到直線的距離公式！點(diǎn)到直線距離是連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段較短，這條垂線段的長度。目標(biāo)在于通過對(duì)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，提高孩子對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)，加深用“”來處理“圖形”的意識(shí)。下面小編為大家分享點(diǎn)到直線的距離公式!希望能幫到大家！

　公式整理

一、總公式：設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(Xo，Yo)，則點(diǎn) P 到直線 L 的距離為：

考慮點(diǎn)(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)二、引申公式：公式①：設(shè)直線l1的方程為

;直線l2的方程為

則 2條平行線之間的間距：

公式②：設(shè)直線l1的方程為

;直線l2的方程為

則 2條直線的夾角

知識(shí)與技能目標(biāo)：

(1)理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程，并且會(huì)使用公式求出定點(diǎn)到定直線的距離;

(2)了解兩條平行直線的距離公式，并能推導(dǎo)

過程與方法目標(biāo)：(1)

通過對(duì)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，提高孩子對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)，加深用“”來處理“圖形”的意識(shí);(2)把兩條平行直線的距離關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離。

證明方法

定義法證：根據(jù)定義，點(diǎn)P(x₀,y₀)到直線l：Ax+By+C=0的距離是點(diǎn)P到直線l的垂線段的長，設(shè)點(diǎn)P到直線的垂線為l'，垂足為Q，則l'的斜率為B/A則l'的解析式為y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'聯(lián)立得l與l'的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由兩點(diǎn)間距離公式得

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得證。

二、函數(shù)法證：點(diǎn)P到直線上任意一點(diǎn)的距離的較小值就是點(diǎn)P到直線的距離。在上取任意點(diǎn) 用兩點(diǎn)的距離公式有，為了利用條件上式變形一下，配湊系數(shù)處理得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以較小值就是

三、不等式法證：點(diǎn)P到直線上任意一點(diǎn)Q的距離的較小值就是點(diǎn)P到直線的距離。由柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以較小值就是

四、轉(zhuǎn)化法證：設(shè)直線的傾斜角為過點(diǎn)P作PM∥ 軸交于M顯然所以易得∠MPQ= (圖2)或∠MPQ=(圖3)在兩種情況下都有所以

五、三角形法證：P作PM∥ 軸交于M，過點(diǎn)P作PN∥ 軸交于N(圖4)由解法三知;同理得在Rt△MPN中，PQ是斜邊上的高

六、參數(shù)方程法證：過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn)Q。(如圖1)由直線參數(shù)方程的幾何意義知，將代入得整理后得當(dāng)時(shí)，我們討論與的傾斜角的關(guān)系：當(dāng)為銳角時(shí) ()有(圖2)當(dāng)為鈍角時(shí) ()有(圖3)得到的結(jié)果和上述形式相同，將此結(jié)果代入①得

七、向量法證：如圖五，設(shè)直線的一個(gè)法向量，Q直線上任意一點(diǎn)，則。從而點(diǎn)P到直線的距離為：

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