數(shù)學(xué)張老師：中學(xué)幾何中的定值問題幾種類型

2008-01-11 15:42:50 　來源：家教班文章作者：數(shù)學(xué)張老師

在中學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，幾何的定值問題一直是一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于它的學(xué)習(xí)方法的探討，我們也一直在深入，下面我針對(duì)自己對(duì)定值問題的理解，以及在教學(xué)過程中的積累，淺談一下。

所謂定值問題，是指在一定的條件下所構(gòu)成的幾何問題中，當(dāng)某些幾何元素按一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi)變化時(shí)，與它相關(guān)的某些幾何元素或幾何元素的代數(shù)量（如點(diǎn)、線段、角、線段的和、積、差、商等）保持不變。其特點(diǎn)是：題設(shè)中都包含著變動(dòng)元素（可變化運(yùn)動(dòng)的元素）和固定元素（不變量）。在給定的條件下，圖形的變化往往具有一定的規(guī)律．研究圖形在變化過程中，它的某些性質(zhì)或數(shù)量關(guān)系不因圖形的變化而變化的問題，這就是幾何圖形的所謂定值問題。

一．幾何定值問題可以分為定量問題和定形問題：

(一)定量問題：解決定量問題的關(guān)鍵在探求定值，一旦定值被找出，就轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何證明題了。探求定值的方法一般有運(yùn)動(dòng)法、特殊值法及法。

(二)定形問題：定形問題是指定直線、定角、定向等問題。在直角坐標(biāo)平面上，定點(diǎn)可對(duì)應(yīng)于有序數(shù)對(duì)，定向直線可以看作斜率一定的直線，實(shí)質(zhì)上這些問題是軌跡問題。

二．證明某一(或某些)線段(角)具有固定值或固定的運(yùn)算關(guān)系；

三．當(dāng)給出定值時(shí)，這就是單純的證明問題；當(dāng)未給出具體定值時(shí)，還需要找出這個(gè)定值,或用特殊化法猜測(cè)出這個(gè)定值后，再予以證明。

定值問題是解析幾何中頗有難度的問題，由于它在解題之前不知道定值的結(jié)果，因而更增添了題目的神秘色彩。解決這類問題時(shí)，要運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在“變”中尋求“不變”，用特殊探索法（即用特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口。另外，有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。

比如說：定點(diǎn)問題，定曲線問題，定方向問題，定數(shù)值問題，等等。幾何中的定值問題與一般幾何證明不同，它的結(jié)論中沒有確定的定值對(duì)象，所以探求定值成為首要任務(wù)。其一，要有一定量的基本圖形、基本結(jié)論作基礎(chǔ)，先設(shè)一般問題成為一個(gè)特殊問題，動(dòng)中取靜，使圖形極端化（考慮圖形的特殊位置和臨界位置等），從而求得定值，然后，從圖形或數(shù)據(jù)的直觀觀察中，獲得合乎情理的猜想，再進(jìn)行邏輯證明；其二，要注意前面解答結(jié)論中的暗示功能和橋梁作用。

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