2008年高考數(shù)列專題熱點(diǎn)復(fù)習(xí)指導(dǎo)

　　3.數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=(1+-)an+-(n1)

　　(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明：an2(n2)；

　　(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)0成立，證明：an

　　證明(Ⅰ)當(dāng)n=2時(shí)，a2=(1+-)·1+-=22，不等式成立；

　　假定n=k時(shí)，ak2，

　　ak+1=(1+-)·ak+-2(1+-)+-，

　　∵1+->1，->0 ∴ak+12

　　由上面n=2與n=k+1，可知不等式an2，對n=2，3，…成立。

　　證明(Ⅱ)an+1=(1+-)·an+-

　　由(Ⅰ)an1，n=1，2，3，…易得-- ∴an+1an·(1+-+-)

　　兩邊取以e為底的對數(shù)，∵e>1，∴l(xiāng)nan+1lnan+ln[1+(-+-)]

　　又由(Ⅱ)給出的條件ln(1+x)0

　　上面的不等式可變形為：lnan+1-lnan-+-

　　即lnan-lnan-1-+-

　　lnan-1-lnan-2-+-

　　……

　　lna2-lna1-+-

　　把以上n-1個(gè)不等式相加：

　　lnan-lna1-+-+…+-+-+-+…+-

　　∵lna1=0

　　又-+-+…+-=1--+---+…+---=1--，

　　-+-+…+-=1--，

　　∴l(xiāng)nan1--+1--=2----<2

　　∴an

　　注第(Ⅱ)問是把不等式證明的比較法，放縮法與數(shù)列的基本方法與等比數(shù)列求和融在一起，這種綜合題不單單是內(nèi)容的綜合，深入到數(shù)學(xué)方法的綜合。

　　4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N+

　　(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

　　(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(--1)=1，并記Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求證：3Tn+1>log2(an+3)，n∈N+。

　　解：(Ⅰ)a1=S1>1

　　6Sn-6Sn-1=an2+3an+2-(a2n-1+3an-1+2)

　　6an=(an+an-1)(an-an-1)+3(an-an-1)

　　(an+an-1)(an-an-1)-3(an+an-1)=0

　　∵an>0，an-1>0

　　∴an-an-1=3

　　又6a1=a21+3a1+2，a1>1，∴a1=2

　　∴an=3n-1

　　分析(2)--1=-，-=-

　　bn=log2-

　　Tn=b1+b2+…+bn=log2-g-g-g…g-

　　=log2(1+-)(1+-)(1+-)…(1+-)

　　3Tn+1=log22g(1+-)3g(1+-)3g(1+-)3g…g(1+-)3

　　在不等式證明中，解決連乘較為困難，所以要考其他途徑變形

　　由二項(xiàng)式定理(1+x)n=1+C1nx+…+Cnnxn(x>0)

　　有(1+x)n>1+C1nx=1+nx

　　研究3Tn+1等式中右邊的連續(xù)兩項(xiàng)：

　　(1+-)3>1+-=-

　　[1+-]3>1+-=-

　　這樣的變形乘積項(xiàng)就能打破，下面有：

　　3Tn+1>log2(2g-g-g…g-g-)

　　=log2(3n+2)=log2(an+3).

　　注：二項(xiàng)展開式在處理不等量關(guān)系及近似中起重要的簡化作用。

　　5.已知數(shù)列{an}中有相鄰兩項(xiàng)a2k-1，a2k是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，且a2k-1a2k(k=1，2，3，…)

　　(Ⅰ)求a1，a3，a5，a7；

　　(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)的和S2n；

　　(Ⅲ)記f(n)=-(-+3)，Tn=-+-+-+…+-

　　求證：-Tn-(n∈N*)

　　(Ⅰ)解：方程(x-3k)(x-2k)=0，x1=3k，x2=2k

　　當(dāng)k=1時(shí)，x1=3，x2=2，由a1a2→a1=2，a2=3

　　當(dāng)k=2時(shí)，x1=6，x2=4，由a3a4→a3=4，a4=6

　　當(dāng)k=3時(shí)，x1=9，x2=8，由a5a6→a5=8，a6=9

　　當(dāng)k=4時(shí)，x1=12，x2=16，由a7a8→a7=12，a8=16

　　∴a1=2，a3=4，a5=8，a7=12

　　分析(2)S2n=(a1+a3+a5+a8)+(a2+a4+a6+a7)+a9+…+a2n

　　=3(1+2+…+n)+2+22+…+2n=-n(n+1)+2n+1-2.

　　分析(3)f(n)=12(-+3)

　　n=2，f(2)=2，n=3，f(3)=2，

　　n=4，f(4)=1，n=5，f(5)=1，

　　隨著n的變化，很難確定f(n)=?

　　要證-≤Tn≤-

　　T1=-=-，T2=-+-=-

　　由此看出T1、T2是兩個(gè)重要的結(jié)果。

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