最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的應(yīng)用

2009-08-27 10:48:15 　來(lái)源：本站原創(chuàng) 文章作者：匿名

1、兄弟三人在外地工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同時(shí)在11日回家，三人下次見面要經(jīng)過(guò)多少天?　　

分析：

(法一)：我們可以猜想，也就是進(jìn)行推的過(guò)程。兄弟三人在一天同時(shí)出發(fā)，也就是同時(shí)在一天回家。下一次的情況：大哥6天后先進(jìn)次回家，12天后第二次回家，18天后第三次回家，24天后第四次回家，也就是大哥24天后第四次回家;二哥8天后先進(jìn)次回家，16天后第二次回家，24天后第三次回家，也就是二哥24天后第三次回家;小弟12天后先進(jìn)次回家，24天后第二次回家，也就是小弟24后第二次回家;無(wú)論大哥、二哥和小弟是第幾次回家，24天后他們都會(huì)再一次相聚。此方法不適合數(shù)據(jù)較大的例子，并且作為應(yīng)用題過(guò)程闡述上不夠明確，實(shí)在是有點(diǎn)不妥當(dāng)。

(法二)：兄弟三人同時(shí)在11日回家，三人下次見面經(jīng)過(guò)的天數(shù)，應(yīng)該是6的倍數(shù)，也是8的倍數(shù)，同時(shí)還是12的倍數(shù)，換句話說(shuō)也就是：下次見面經(jīng)過(guò)的天數(shù)是6、8和12的公倍數(shù)，而公倍數(shù)中只需求出較小公倍數(shù)(即：先進(jìn)次相聚后的下一次相聚) 6、8和12的較小公倍數(shù)是24 兄弟三人同時(shí)在11日回家，三人下次見面要經(jīng)過(guò)24天。注：?jiǎn)栴}部分“兄弟三人同時(shí)在11日回家”中的“11日”，實(shí)際與下次見面要經(jīng)過(guò)的時(shí)間天數(shù)無(wú)關(guān)，它就是一個(gè)敘述方式，一個(gè)為了表達(dá)完整的敘述方式�！� 　

2、一張長(zhǎng)105厘米、寬75厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，要分成大小完全相等的正方形鐵皮且無(wú)剩余，這張長(zhǎng)方形鐵皮較少可以分成多少個(gè)正方形鐵皮?

分析：

要分成大小完全相等的正方形鐵皮且無(wú)剩余，也就是正方形的邊長(zhǎng)既是原來(lái)的長(zhǎng)方形長(zhǎng)的約數(shù)，也是原來(lái)的長(zhǎng)方形寬的約數(shù)，即：正方形的邊長(zhǎng)是原來(lái)的長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的公約數(shù);又因?yàn)槭乔筮@張長(zhǎng)方形鐵皮較少可以分成多少個(gè)正方形鐵皮，正方形的個(gè)數(shù)較少，也就是正方形的邊長(zhǎng)越大，回到剛才分析的正方形的邊長(zhǎng)是原來(lái)的長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的公約數(shù)，而現(xiàn)在確切的是找邊長(zhǎng)較大正方形，就是找原來(lái)的長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的較大公約數(shù)作為正方形的邊長(zhǎng)。 105和75的較大公約數(shù)是15 即：正方形的邊長(zhǎng)：15厘米正方形的個(gè)數(shù)：(105×75)÷(15×15)=35(個(gè)) 　　也可以利用分解質(zhì)因數(shù)中短除式中的除數(shù)和商來(lái)求正方形的個(gè)數(shù)， 105和75的除數(shù)都是15，即105和75的較大公約數(shù)是15，105的商是7(表示105按15一段來(lái)分可以分7段);75的商是5(表示75按15一段來(lái)分可以分5段)。長(zhǎng)分7段，寬分5段。正方形的個(gè)數(shù)是7×5=35(個(gè))　　

3、有一筐蘋果，不論分給8個(gè)人，還是分給10個(gè)人，都剩3個(gè)。這筐蘋果至少有多少個(gè)?

分析：

蘋果總數(shù)減去3，得到的新總數(shù)，不論分給8個(gè)人，還是分給10個(gè)人，都不剩，剛好分完。也就是得到的蘋果新總數(shù)既是8的倍數(shù)，又是10的倍數(shù)，即8和10的公倍數(shù)，而要求這筐蘋果至少有多少個(gè)。因此只需要求8和10的較小公倍數(shù)。 8和10的較小公倍數(shù)是40 即蘋果新總數(shù)是40，再加上從蘋果總數(shù)里減去的3，便得到蘋果總數(shù)：也就是40+3=43(個(gè))注：有時(shí)間不容易理解是借助算式來(lái)幫助，如上題中有一筐蘋果，不論分給8個(gè)人，還是分給10個(gè)人，都剩3個(gè)�？梢员硎緸椋�?÷8=商……3 ?÷10=商……3 ?-3=A A能被8整除，A能被10整除，換一種敘述方式：A是8的倍數(shù)，A是10的倍數(shù)。即A是8和10的公倍數(shù)。再接著往下分析即可。

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