最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的應用

1、兄弟三人在外地工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同時在11日回家，三人下次見面要經(jīng)過多少天?　 　

分析：

(法一)：我們可以猜想，也就是進行推的過程。兄弟三人在一天同時出發(fā)，也就是同時在一天回家。下一次的情況：大哥6天后先進次回家，12天后第二次回家，18天后第三次回家，24天后第四次回家，也就是大哥24天后第四次回家;二哥8天后先進次回家，16天后第二次回家，24天后第三次回家，也就是二哥24天后第三次回家;小弟12天后先進次回家，24天后第二次回家，也就是小弟24后第二次回家;無論大哥、二哥和小弟是第幾次回家，24天后他們都會再一次相聚。此方法不適合數(shù)據(jù)較大的例子，并且作為應用題過程闡述上不夠明確，實在是有點不妥當。

(法二)：兄弟三人同時在11日回家，三人下次見面經(jīng)過的天數(shù)，應該是6的倍數(shù)，也是8的倍數(shù)，同時還是12的倍數(shù)，換句話說也就是：下次見面經(jīng)過的天數(shù)是6、8和12的公倍數(shù)，而公倍數(shù)中只需求出較小公倍數(shù)(即：先進次相聚后的下一次相聚) 6、8和12的較小公倍數(shù)是24 兄弟三人同時在11日回家，三人下次見面要經(jīng)過24天。注：問題部分“兄弟三人同時在11日回家”中的“11日”，實際與下次見面要經(jīng)過的時間天數(shù)無關(guān)，它就是一個敘述方式，一個為了表達完整的敘述方式�！� 　

2、一張長105厘米、寬75厘米的長方形鐵皮，要分成大小完全相等的正方形鐵皮且無剩余，這張長方形鐵皮較少可以分成多少個正方形鐵皮?

分析：

要分成大小完全相等的正方形鐵皮且無剩余，也就是正方形的邊長既是原來的長方形長的約數(shù)，也是原來的長方形寬的約數(shù)，即：正方形的邊長是原來的長方形長和寬的公約數(shù);又因為是求這張長方形鐵皮較少可以分成多少個正方形鐵皮，正方形的個數(shù)較少，也就是正方形的邊長越大，回到剛才分析的正方形的邊長是原來的長方形長和寬的公約數(shù)，而現(xiàn)在確切的是找邊長較大正方形，就是找原來的長方形長和寬的較大公約數(shù)作為正方形的邊長。 105和75的較大公約數(shù)是15 即：正方形的邊長：15厘米正方形的個數(shù)：(105×75)÷(15×15)=35(個) 　 　也可以利用分解質(zhì)因數(shù)中短除式中的除數(shù)和商來求正方形的個數(shù)， 105和75的除數(shù)都是15，即105和75的較大公約數(shù)是15，105的商是7(表示105按15一段來分可以分7段);75的商是5(表示75按15一段來分可以分5段)。長分7段，寬分5段。正方形的個數(shù)是7×5=35(個)　 　

3、有一筐蘋果，不論分給8個人，還是分給10個人，都剩3個。這筐蘋果至少有多少個?

分析：

蘋果總數(shù)減去3，得到的新總數(shù)，不論分給8個人，還是分給10個人，都不剩，剛好分完。也就是得到的蘋果新總數(shù)既是8的倍數(shù)，又是10的倍數(shù)，即8和10的公倍數(shù)，而要求這筐蘋果至少有多少個。因此只需要求8和10的較小公倍數(shù)。 8和10的較小公倍數(shù)是40 即蘋果新總數(shù)是40，再加上從蘋果總數(shù)里減去的3，便得到蘋果總數(shù)：也就是40+3=43(個)注：有時間不容易理解是借助算式來幫助，如上題中有一筐蘋果，不論分給8個人，還是分給10個人，都剩3個�？梢员硎緸椋�?÷8=商……3 ?÷10=商……3 ?-3=A A能被8整除，A能被10整除，換一種敘述方式：A是8的倍數(shù)，A是10的倍數(shù)。即A是8和10的公倍數(shù)。再接著往下分析即可。

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