解決排列組合問題常見策略

2009-10-09 12:03:52 　來(lái)源：本站原創(chuàng) 文章作者：匿名

排列、組合問題是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)之一，由于解這類問題時(shí)方法靈活，切入點(diǎn)多，且抽象性強(qiáng)，在做題過程中發(fā)生重復(fù)或遺漏現(xiàn)象不易被發(fā)現(xiàn)，所以成為學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。如果在解決排列、組合問題時(shí)，注意常見的解題策略，則會(huì)降低學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的難度。

1. 合理選擇主元

例1. 公共汽車上有3個(gè)座位，現(xiàn)在上來(lái)5名乘客，每人坐1個(gè)座位，有幾種不同的坐法？

例2. 公共汽車上有5個(gè)座位，現(xiàn)在上來(lái)3名乘客，每人坐1個(gè)座位，有幾種不同的坐法？

分析：例1中將5名乘客看作5個(gè)元素，3個(gè)空位看作3個(gè)位置，則問題變?yōu)閺?個(gè)不同的元素中任選3個(gè)元素放在3個(gè)位置上，共有種不同坐法。例2中再把乘客看作元素問題就變得比較復(fù)雜，將5個(gè)空位看作元素，而將乘客看作位置，則例2變成了例1，所以在解決排列組合問題時(shí)，合理選擇主元，就是選擇合適解題方法的突破口。

2. 相鄰問題捆綁法

若元素（或位置）相鄰，則將它們“捆綁”在一起，看作一個(gè)元素進(jìn)行，然后再交換相鄰元素（或位置）內(nèi)部順序算出總數(shù)。

例3. 5名女生3名男生站成一排照相，其中3名男生站在一起，共有多少種不同的站法？

解：先把3名男生“捆綁”在一起當(dāng)作一個(gè)元素，連同其余5名女生共6個(gè)元素，進(jìn)行排列，再交換3名男生的位置

3. 不相鄰用插空法

對(duì)于一些元素（或位置）不相鄰的排列、組合問題，應(yīng)先將其他元素（或位置）排好，再把不相鄰的元素（或位置）在已排好的元素（或位置）間插空。

例4. 5名女生3名男生站成一排照相，其中3名男生互不相鄰共有多少種站法？

解：先將5名女生排好，將3名男生插在5名女生之間的6個(gè)空位中

4. “至少”型組合問題用隔板法

對(duì)于“至少”型組合問題，先轉(zhuǎn)化為“至少一個(gè)”型組合問題，再用n個(gè)隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，將元素分成n＋1份。

例5. 4名孩子分6本相同的書，每人至少1本，有多少種不同分法？

解：將6本書分成4份，先把書排成一排，插入3個(gè)隔板，6本書中間有5個(gè)空隙

5. 注意合理分類

元素（或位置）的“地位”不相同時(shí)，不可直接用排列組合數(shù)公式，則要根據(jù)元素（或位置）的特殊性進(jìn)行合理分類，求出各類排列組合數(shù)。再用分類計(jì)數(shù)原理求出總數(shù)。

例6. 求用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字組成的比2015大的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)。

解：比2015大的四位數(shù)可分成以下三類：

先進(jìn)類：3×××，4×××，5×××，共有：（個(gè)）；

第二類：21××，23××，24××，25××，共有：（個(gè)）；

第三類：203×，204×，205×，共有：（個(gè)）

∴比2015大的四位數(shù)共有237個(gè)。

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