高中數(shù)學(xué)解題方法

2009-12-30 17:03:47 　來(lái)源：本站原創(chuàng) 文章作者：匿名

　　一、換元法

　　“換元”的思想和方法，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，靈活運(yùn)用換元法解題，有助于數(shù)量關(guān)系明朗化，變繁為簡(jiǎn)，化難為易，給出簡(jiǎn)便、巧妙的解答。

　　在解題過(guò)程中，把題中某一式子如f(x)，作為新的變量y或者把題中某一變量如x，用新變量t的式子如g(t)替換，即通過(guò)令f(x)=y或x=g(t)進(jìn)行變量代換，得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單便于求解的新解題方法，通常稱為換元法或變量代換法。

　　用換元法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，選擇能以簡(jiǎn)馭繁，化難為易的代換f(x)=y或x=g(t)。就換元的具體形式而論，是多種多樣的，常用的有有理式代換，根式代換，指數(shù)式代換，對(duì)數(shù)式代換，三角式代換，反三角式代換，復(fù)變量代換等，宜在解題實(shí)踐中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，掌握有關(guān)的技巧。

　　例如，用于求解代數(shù)問(wèn)題的三角代換，在具體設(shè)計(jì)時(shí)，宜遵循以下原則：(1)全面考慮三角函數(shù)的定義域、值域和有關(guān)的公式、性質(zhì);(2)力求減少變量的個(gè)數(shù)，使問(wèn)題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化;(3)便于借助已知三角公式，建立變量間的內(nèi)在聯(lián)系。只有全面考慮以上原則，才能謀取恰當(dāng)?shù)娜谴鷵Q。

　　換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在多項(xiàng)式的因式分解，代數(shù)式的化簡(jiǎn)，恒等式、條件等式或不等式的證明，方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解，函數(shù)表達(dá)式、定義域、值域或較值的推求，以及解析幾何中的坐標(biāo)替換，普通方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等問(wèn)題中，都有著廣泛的應(yīng)用。

　　二、消元法

　　對(duì)于含有多個(gè)變數(shù)的問(wèn)題，有時(shí)可以利用題設(shè)條件和某些已知恒等式(代數(shù)恒等式或三角恒等式)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危ヒ徊糠肿償?shù)，使問(wèn)題得以解決，這種解題方法，通常稱為消元法，又稱消去法。

　　消元法是解方程組的基本方法，在推證條件等式和把參數(shù)方程化成普通方程等問(wèn)題中，也有著重要的應(yīng)用。

　　用消元法解題，具有較強(qiáng)的技巧性，常常需要根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活選擇合適的消元方法。

　　三、待定系數(shù)法

　　按照一定規(guī)律，先寫出問(wèn)題的解的形式(一般是指一個(gè)算式、表達(dá)式或方程)，其中含有若干尚待確定的未知系數(shù)的值，從而得到問(wèn)題的解。這種解題方法，通常稱為待定系數(shù)法;其中尚待確定的未知系數(shù)，稱為待定系數(shù)。

　　確定待定系數(shù)的值，有兩種常用方法：比較系數(shù)法和特殊值法。

　　(一)比較系數(shù)法

　　比較系數(shù)法，是指通過(guò)比較恒等式兩邊多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得到關(guān)于待定系數(shù)的若干關(guān)系式(通常是多元方程組)，由此求得待定系數(shù)的值。

　　比較系數(shù)法的理論根據(jù)，是多項(xiàng)式的恒等定理：兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的充分必要條件是對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，即a0xn+a1xn-1+ …+an≡b0xn+b1xn-1+… +bn 的充分必要條件是 a0=b0, a1=b1,…… an=bn 。

　　(二)特殊值法

　　特殊值法，是指通過(guò)取字母的一些特定數(shù)據(jù)值代入恒等式，由左右兩邊數(shù)值相等得到關(guān)于待定系數(shù)的若干關(guān)系式，由此求得待定系數(shù)的值。

　　特殊值法的理論根據(jù)，是表達(dá)式恒等的定義：兩個(gè)表達(dá)式恒等，是指用字母容許值集內(nèi)的任意值代替表達(dá)式中的字母，恒等式左右兩邊的值總是相等的。

　　待定系數(shù)法是一種常用的數(shù)學(xué)方法，主要用于處理涉及多項(xiàng)式恒等變形問(wèn)題，如分解因式、證明恒等式、解方程、將分式表示為部分分式、確定函數(shù)的解析式和圓錐曲線的方程等。

　　四、判別式法

　　實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) ①

　　的判別式△=b2-4ac具有以下性質(zhì)：

　　 >0，當(dāng)且僅當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

　　△ =0，當(dāng)且僅當(dāng)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

　　 <0，當(dāng)且僅當(dāng)方程②沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

　　對(duì)于二次函數(shù)

　　y=ax2+bx+c (a≠0)②它的判別式△=b2-4ac具有以下性質(zhì)：

　　 >0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線②與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn);

　　△ =0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線②與x軸有一個(gè)公共點(diǎn);

　　 <0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線②與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)。

　　利用判別式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要方法，在探求某些實(shí)變數(shù)之間的關(guān)系，研究方程的根和函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式，以及研究圓錐曲線與直線的關(guān)系等方面，都有著廣泛的應(yīng)用。

　　在具體運(yùn)用判別式時(shí)，①②中的系數(shù)都可以是含有參數(shù)的代數(shù)式。

　　從總體上說(shuō)，解答數(shù)學(xué)題，即需要富有普適性的策略作宏觀指導(dǎo)，也需要各種具體的方法和技巧進(jìn)行微觀處理，只有把策略、方法、技巧和諧地結(jié)合起來(lái)，創(chuàng)造性地加以運(yùn)用，才能成功地解決面臨的問(wèn)題，獲取良好的效果。

　　五、分析法與綜合法

　　分析法和綜合法源于分析和綜合，是思維方向相反的兩種思考方法，在解題過(guò)程中具有十分重要的作用。

　　在數(shù)學(xué)中，又把分析看作從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法，而綜合被看成是從原因推導(dǎo)到由原因產(chǎn)生的結(jié)果的另一種思維方法。通常把前者稱為分析法，后者稱為綜合法。

　　具體的說(shuō)，分析法是從題目的等證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步的探索下去，較后達(dá)到題設(shè)的已知條件;綜合法則是從題目的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，較后達(dá)到待證的結(jié)論或需求問(wèn)題。

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