六年級小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典題難題集粹：容斥原理問題

2010-06-09 11:04:18 　來源：網(wǎng)絡(luò)資源

　　五.容斥原理問題

　　23. 有100種赤貧.其中含鈣的有68種，含鐵的有43種，那么，同時含鈣和鐵的食品種類的較大值和較小值分別是（）

　　A 43，25 B 32，25 C32，15 D 43，11

　　解：根據(jù)容斥原理較小值68+43-100=11

　　較大值就是含鐵的有43種

　　24.在多元智能大賽的決賽中只有三道題.

　　已知：（1）某校25名孩子參加診斷，每個孩子至少解出一道題；

　　（2）在所有沒有解出先進題的孩子中，解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍

　�。�3）只解出先進題的孩子比余下的孩子中解出先進題的人數(shù)多1人；

　�。�4）只解出一道題的孩子中，有一半沒有解出先進題，那么只解出第二題的孩子人數(shù)是（）

　　A，5 B，6 C，7 D，8

　　解：根據(jù)“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。

　　分別設(shè)各類的人數(shù)為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123

　　由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①

　　由（2）知：a2+a23=（a3+ a23）×2……②

　　由（3）知：a12+a13+a123=a1-1……③

　　由（4）知：a1=a2+a3……④

　　再由②得a23=a2-a3×2……⑤

　　再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥

　　然后將④⑤⑥代入①中，整理得到

　　a2×4+a3=26

　　由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解：

　　當(dāng)a2=6、5、4、3、2、1時，a3=2、6、10、14、18、22

　　又根據(jù)a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3

　　因此，符合條件的只有a2=6，a3=2。

　　然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，總?cè)藬?shù)=8+6+2+7+2=25，檢驗所有條件均符。

　　故只解出第二題的孩子人數(shù)a2=6人。

　　25.一次診斷共有5道試題。做對第1、2、3、、4、5題的分別占參加診斷人數(shù)的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次診斷的合格率至少是多少？

　　答案：及格率至少為71%。

　　假設(shè)一共有100人診斷

　　100-95=5

　　100-80=20

　　100-79=21

　　100-74=26

　　100-85=15

　　5+20+21+26+15=87（表示5題中有1題做錯的較多人數(shù)）

　　87÷3=29（表示5題中有3題做錯的較多人數(shù)，即不及格的人數(shù)較多為29人）

　　100-29=71（及格的較少人數(shù)，其實都是全對的）

　　及格率至少為71%

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