2016年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)題（一）

2016-04-27 14:11:13 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　題型一　利用歸納推理求解相關(guān)問題

　　例1　如圖所示，是某小朋友在用火柴拼圖時(shí)呈現(xiàn)的圖形，其中第1個(gè)圖形用了3根火柴，第2個(gè)圖形用了9根火柴，第3個(gè)圖形用了18根火柴…，則第2 014個(gè)圖形用的火柴根數(shù)為________.

　　破題切入點(diǎn)　觀察圖形的規(guī)律，寫成代數(shù)式歸納可得.

　　答案　3 021×2 015

　　解析　由題意，第1個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×1;

　　第2個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1+2);

　　第3個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1+2+3);

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　　由此，可以推出，第n個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1+2+3+…+n).

　　所以第2 014個(gè)圖形所需火柴的根數(shù)為3×(1+2+3+…+2 014)

　　=3×=3 021×2 015.

　　題型二　利用類比推理求解相關(guān)問題

　　例2　如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個(gè)角，截下的是一個(gè)直角三角形，有勾股定理c2=a2+b2.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面中的結(jié)論有________.

　　破題切入點(diǎn)　由平面圖形中各元素到空間幾何體中各元素的類比.

　　答案　S2=S+S+S

　　解析　建立從平面圖形到空間圖形的類比，在由平面幾何的性質(zhì)類比推理空間立體幾何的性質(zhì)時(shí)，注意平面幾何中點(diǎn)的性質(zhì)可類比推理空間幾何中線的性質(zhì)，平面幾何中線的性質(zhì)可類比推理空間幾何中面的性質(zhì)，平面幾何中面的性質(zhì)可類比推理空間幾何中體的性質(zhì).所以三角形類比空間中的三棱錐，線段的長(zhǎng)度類比圖形的面積，于是作出猜想：S2=S+S+S.

　　總結(jié)提高　(1)歸納推理的三個(gè)特點(diǎn)

　　①歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊對(duì)象，歸納所得到的結(jié)論是未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包含的范圍;

　�、谟蓺w納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否準(zhǔn)確，還需要經(jīng)過邏輯推理和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具;

　�、蹥w納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.

　　(2)類比推理的一般步驟

　　①定類，即找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征;

　�、谕茰y(cè)，即用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想;

　�、蹤z驗(yàn)，即檢驗(yàn)猜想的正確性，要將類比推理運(yùn)用于簡(jiǎn)單推理之中，在不斷的推理中提高自己的觀察、歸納、類比能力.

　　1.已知x>0，觀察不等式x+≥2=2，x+=++≥3=3，…，由此可得一般結(jié)論：x+≥n+1(n∈N*)，則a的值為________.

　　答案　nn

　　解析　根據(jù)已知，續(xù)寫一個(gè)不等式：

　　x+=+++≥4=4，由此可得a=nn.

　　2.在平面內(nèi)點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，若=λ+μ，則λ+μ=1;類似地，如果點(diǎn)O是空間內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C，D中任意三點(diǎn)均不共線，并且這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，若=x+y+z，則x+y+z=________.

　　答案　-1

　　解析　在平面內(nèi)，由三角形法則，得=-，=-.

　　因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，

　　所以存在實(shí)數(shù)t，使=t，

　　即-=t(-)，

　　所以=-+(+1).

　　因?yàn)?λ+μ，

　　所以λ=-，μ=+1，

　　所以λ+μ=1.

　　類似地，在空間內(nèi)可得=λ+μ+η，λ+μ+η=1.

　　因?yàn)?-，所以x+y+z=-1.

　　3.觀察下列各式：55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125，…，則52 014的末四位數(shù)字為________.

　　答案　5625

　　解析　由觀察易知55的末四位數(shù)字為3125,56的末四位數(shù)字為5625,57的末四位數(shù)字為8125,58的末四位數(shù)字為0625,59的末四位數(shù)字為3125，故周期T=4.又由于2 014=503×4+2，因此52 014的末四位數(shù)字是5625.

　　4.觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，則a10+b10=________.

　　答案　123

　　解析　記an+bn=f(n)，則f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;

　　f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;

　　f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;

　　f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;

　　f(10)=f(8)+f(9)=123，即a10+b10=123.

　　5.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是________.

　　答案　正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的

　　解析　設(shè)正四面體的每個(gè)面的面積是S，高是h，內(nèi)切球半徑為R，

　　由體積分割可得：SR×4=Sh，

　　所以R=h.

　　6.觀察下列等式：

　　(1+1)=2×1

　　(2+1)(2+2)=22×1×3

　　(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

　　…

　　照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為______________.

　　答案　(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)

　　解析　由已知的三個(gè)等式左邊的變化規(guī)律，得第n個(gè)等式左邊為(n+1)(n+2)…(n+n)，由已知的三個(gè)等式右邊的變化規(guī)律，得第n個(gè)等式右邊為2n與n個(gè)奇數(shù)之積，即2n×1×3×…×(2n-1).

　　7.(2013·湖北)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為=n2+n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：

　　三角形數(shù)　　　　　N(n,3)=n2+n，

　　正方形數(shù) N(n,4)=n2，

　　五邊形數(shù) N(n,5)=n2-n，

　　六邊形數(shù) N(n,6)=2n2-n

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　　可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此N(10,24=____________________________________.

　　答案　1 000

　　解析　由N(n,4)=n2，N(n,6)=2n2-n，可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)=n2+n，

　　∴N(10,24)=×100+×10=1 100-100=1 000.

　　8.兩點(diǎn)等分單位圓時(shí)，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α+sin(π+α)=0;三點(diǎn)等分單位圓時(shí)，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α+sin(α+)+sin(α+)=0.由此可以推知：四點(diǎn)等分單位圓時(shí)的相應(yīng)正確關(guān)系為________________________.

　　答案　sin α+sin(α+)+sin(α+π)+sin(α+)=0

　　解析　由類比推理可知，四點(diǎn)等分單位圓時(shí)，α與α+π的終邊互為反向延長(zhǎng)線，α+與α+的終邊互為反向延長(zhǎng)線

　　9.(2013·陜西)觀察下列等式

　　12=1，

　　12-22=-3，

　　12-22+32=6，

　　12-22+32-42=-10，

　　…

　　照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________.

　　答案　12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·

　　解析　觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(-1)n+1n2.等式右邊的值的符號(hào)也是正、負(fù)相間，其少有值分別為1,3,6,10,15,21，….設(shè)此數(shù)列為{an}，則a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，a5-a4=5，…，an-an-1=n，各式相加得an-a1=2+3+4+…+n，即an=1+2+3+…+n=.所以第n個(gè)等式為12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.

　　10.如圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，分別連結(jié)這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)，將原三角形剖分成4個(gè)三角形(如圖2)，再分別連結(jié)圖2中一個(gè)小三角形三邊的中點(diǎn)，又可將原三角形剖分成7個(gè)三角形(如圖3)，…，依此類推.設(shè)第n個(gè)圖中原三角形被剖分成an個(gè)三角形，則第4個(gè)圖中較小三角形的邊長(zhǎng)為________;a100=________.

　　答案　　298

　　解析　由三角形的生成規(guī)律得，后面的每一個(gè)圖形中小三角形的邊長(zhǎng)均等于前一個(gè)圖形中小三角形邊長(zhǎng)的，即較小三角形的邊長(zhǎng)是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則第4個(gè)圖中較小三角形的邊長(zhǎng)等于1×=，由a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=3可得，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，則a100=a1+99×3=1+297=298.

　　11.觀察下列不等式：

　　1+<，

　　1++<，

　　1+++<，

　　…

　　照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為________.

　　答案　1+++++<

　　解析　觀察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端較后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列.

　　∴第五個(gè)不等式為1+++++<.

　　12.(2014·陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：

　　多面體面數(shù)(F) 頂點(diǎn)數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是____________.

　　答案　F+V-E=2