2016年高考數(shù)學(xué)練習(xí)題（一）

2016-05-24 15:12:03 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

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　　一、選擇題

　　1。現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

　　75270293714070347437386366947

　　14174698037162332616804560113661

　　9597742476104281

　　根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為()

　　A。0。852B。0。8192C。0。8D。0。75

　　答案：D命題立意：本題主要考查隨機(jī)模擬法，考查考生的邏輯思維能力。

　　解題思路：因?yàn)樯鋼?次至多擊中2次對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)組為7140，1417，0371，6011，7610，共5組，所以射擊4次至少擊中3次的概率為1-=0。75，故選D。

　　2。在菱形ABCD中，ABC=30°，BC=4，若在菱形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率是()

　　A。1/2B。2

　　C。-1D。1

　　答案：D命題立意：本題主要考查幾何概型，意在考查考生的運(yùn)算求解能力。

　　解題思路：如圖，以菱形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心作半徑為1的圓，圖中陰影部分即為到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的區(qū)域，由幾何概型的概率公式可知，所求概率P==。

　　3。設(shè)集合A={1，2}，B={1，2，3}，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，記“點(diǎn)P(a，b)落在直線x+y=n上”為事件Cn(2≤n≤5，nN)，若事件Cn的概率較大，則n的所有可能值為()

　　A。3B。4C。2和5D。3和4

　　答案：D解題思路：分別從集合A和B中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，則有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，共6種情況，a+b=2的有1種情況，a+b=3的有2種情況，a+b=4的有2種情況，a+b=5的有1種情況，所以可知若事件Cn的概率較大，則n的所有可能值為3和4，故選D。

　　4。記a，b分別是投擲兩次骰子所得的數(shù)字，則方程x2-ax+2b=0有兩個(gè)不同實(shí)根的概率為()

　　A。3/4B。1/2

　　C。1/3D。1/4

　　答案：B解題思路：由題意知投擲兩次骰子所得的數(shù)字分別為a，b，則基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36個(gè)。而方程x2-ax+2b=0有兩個(gè)不同實(shí)根的條件是a2-8b>0，因此滿足此條件的基本事件有：(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，共有9個(gè)，故所求的概率為=。

　　5。在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別為a，b，則使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π2有零點(diǎn)的概率為()

　　A。1-B。1-C。1-D。1-

　　答案：

　　B解題思路：函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π2有零點(diǎn)，需Δ=4a2-4(-b2+π2)≥0，即a2+b2≥π2成立。而a，b[-π，π]，建立平面直角坐標(biāo)系，滿足a2+b2≥π2的點(diǎn)(a，b)如圖陰影部分所示，所求事件的概率為P===1-，故選B。

　　6。袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球。從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于()

　　A。5/6B。11/12

　　C。1/2D。3/4

　　答案：B解題思路：將同色小球編號(hào)，從袋中任取兩球，所有基本事件為：(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，黑1)，(紅，黑2)，(紅，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15個(gè)基本事件，而為一白一黑的共有6個(gè)基本事件，所以所求概率P==。故選B。

　　二、填空題

　　7。已知集合表示的平面區(qū)域?yàn)?Omega;，若在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足不等式x2+y2≤2的概率為_(kāi)_______。

　　答案：命題立意：本題考查線性規(guī)劃知識(shí)以及幾何概型的概率求解，正確作出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是解答本題的關(guān)鍵，難度中等。

　　解題思路：如圖陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域，滿足條件x2+y2≤2的點(diǎn)分布在以為半徑的四分之一圓面內(nèi)，以面積作為事件的幾何度量，由幾何概型可得所求概率為=。

　　8。從5名孩子中選2名孩子參加周六、周日社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，孩子甲被選中而孩子乙未被選中的概率是________。

　　答案：命題立意：本題主要考查古典概型，意在考查考生分析問(wèn)題的能力。

　　解題思路：設(shè)5名孩子分別為a1，a2，a3，a4，a5(其中甲是a1，乙是a2)，從5名孩子中選2名的選法有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10種，孩子甲被選中而孩子乙未被選中的選法有(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，共3種，故所求概率為。

　　9。已知函數(shù)f(x)=kx+1，其中實(shí)數(shù)k隨機(jī)選自區(qū)間，則對(duì)x∈[-1，1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________。

　　答案：命題立意：本題主要考查幾何概型，意在考查數(shù)形結(jié)合思想。

　　解題思路：f(x)=kx+1過(guò)定點(diǎn)(0，1)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)k[-1，1]時(shí)滿足f(x)≥0在x[-1，1]上恒成立，而區(qū)間[-1，1]，[-2，1]的區(qū)間長(zhǎng)度分別是2，3，故所求的概率為。

　　10。若實(shí)數(shù)m，n{-2，-1，1，2，3}，且m≠n，則方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率是________。

　　解題思路：實(shí)數(shù)m，n滿足m≠n的基本事件有20種，如下表所示。

　　-2-1123-2(-2，-1)(-2，1)(-2，2)(-2，3)-1(-1，-2)(-1，1)(-1，2)(-1，3)1(1，-2)(1，-1)(1，2)(1，3)2(2，-2)(2，-1)(2，1)(2，3)3(3，-2)(3，-1)(3，1)(3，2)其中表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的事件有(-2，1)，(-2，2)，(-2，3)，(-1，1)，(-1，2)，(-1，3)，共6種，因此方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率為P==。

　　三、解答題

　　11。袋內(nèi)裝有6個(gè)球，這些球依次被編號(hào)為1，2，3，…，6，設(shè)編號(hào)為n的球重n2-6n+12(單位：克)，這些球等可能地從袋里取出(不受重量、編號(hào)的影響)。

　　(1)從袋中任意取出1個(gè)球，求其重量大于其編號(hào)的概率；

　　(2)如果不放回地任意取出2個(gè)球，求它們重量相等的概率。

　　命題立意：本題主要考查古典概型的基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生的能力。

　　解析：(1)若編號(hào)為n的球的重量大于其編號(hào)，則n2-6n+12>n，即n2-7n+12>0。

　　解得n<3或n>4。所以n=1，2，5，6。

　　所以從袋中任意取出1個(gè)球，其重量大于其編號(hào)的概率P==。

　　(2)不放回地任意取出2個(gè)球，這2個(gè)球編號(hào)的所有可能情形為：

　　1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；

　　2，3；2，4；2，5；2，6；

　　3，4；3，5；3，6；

　　4，5；4，6；

　　5，6。

　　共有15種可能的情形。

　　設(shè)編號(hào)分別為m與n(m，n{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)的球的重量相等，則有m2-6m+12=n2-6n+12，

　　即有(m-n)(m+n-6)=0。

　　所以m=n(舍去)或m+n=6。

　　滿足m+n=6的情形為1，5；2，4，共2種情形。

　　故所求事件的概率為。12。一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4。

　　(1)從袋中隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號(hào)記為a，然后從袋中余下的三個(gè)球中再隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號(hào)記為b，求關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的概率；

　　(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)記為m，將球放回袋中，然后從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)記為n。若以(m，n)作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，求點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)的概率。

　　命題立意：(1)不放回抽球，列舉基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，注意不要出現(xiàn)重復(fù)的號(hào)碼；(2)有放回抽球，列舉基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，可以出現(xiàn)重復(fù)的號(hào)碼，然后找出其中隨機(jī)事件含有的基本事件個(gè)數(shù)，按照古典概型的公式進(jìn)行。

　　解析：(1)設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”。

　　當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥b。以下先進(jìn)個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值。基本事件共12個(gè)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)。

　　事件A中包含6個(gè)基本事件：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)。

　　事件A發(fā)生的概率為P(A)==。

　　(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，放回后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，點(diǎn)P(m，n)的所有可能情況為：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16個(gè)。

　　落在區(qū)域內(nèi)的有(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共4個(gè)，所以點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)的概率為。

　　13。某校從高一年級(jí)孩子中隨機(jī)抽取40名孩子，將他們的期中診斷數(shù)學(xué)成績(jī)(助力能力100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖。

　　(1)求圖中實(shí)數(shù)a的值；

　　(2)若該校高一年級(jí)共有孩子640人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中診斷數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)；

　　(3)若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50)與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的孩子中隨機(jī)選取2名孩子，求這2名孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的少有值不大于10的概率。

　　命題立意：本題以頻率分布直方圖為載體，考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。

　　解析：(1)由已知，得10×(0。005+0。01+0。02+a+0。025+0。01)=1，

　　解得a=0。03。

　　(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知，成績(jī)不低于60分的頻率為1-10×(0。005+0。01)=0。85。

　　由于該校高一年級(jí)共有孩子640人，利用樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)該校高一年級(jí)期中診斷數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)約為640×0。85=544。

　　(3)易知成績(jī)?cè)赱40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0。05=2，這2人分別記為A，B；成績(jī)?cè)赱90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0。1=4，這4人分別記為C，D，E，F(xiàn)。

　　若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50)與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的孩子中隨機(jī)選取2名孩子，則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15個(gè)。

　　如果2名孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)都在[40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的少有值一定不大于10。如果一個(gè)成績(jī)?cè)赱40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績(jī)?cè)赱90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的少有值一定大于10。

　　記“這2名孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的少有值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共7個(gè)。

　　所以所求概率為P(M)=。

　　14。新能源汽車是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽車，包括燃料電池汽車、混合動(dòng)力汽車、氫能源動(dòng)力汽車和太陽(yáng)能汽車等，其廢氣排放量比較低，為了配合我國(guó)“節(jié)能減排”戰(zhàn)略，某汽車廠決定轉(zhuǎn)型生產(chǎn)新能源汽車中的燃料電池轎車、混合動(dòng)力轎車和氫能源動(dòng)力轎車，每類轎車均有標(biāo)準(zhǔn)型和豪華型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：

　　燃料電池轎車混合動(dòng)力轎車氫能源動(dòng)力轎車標(biāo)準(zhǔn)型100150y豪華型300450600按能源類型用分開(kāi)抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中燃料電池轎車有10輛。

　　(1)求y的值；

　　(2)用分開(kāi)抽樣的方法在氫能源動(dòng)力轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛轎車，求至少有1輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車的概率；

　　(3)用隨機(jī)抽樣的方法從混合動(dòng)力標(biāo)準(zhǔn)型轎車中抽取10輛進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9。3，8。7，9。1，9。5，8。8，9。4，9。0，8。2，9。6，8。4。把這10輛轎車的得分看作一個(gè)樣本，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的少有值不超過(guò)0。4的概率。

　　命題立意：本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，考查孩子的運(yùn)算求解能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。對(duì)于第(1)問(wèn)，設(shè)該廠這個(gè)月生產(chǎn)轎車n輛，根據(jù)分開(kāi)抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有燃料電池轎車10輛，列出關(guān)系式，得到n的值，進(jìn)而得到y(tǒng)值；對(duì)于第(2)問(wèn)，由題意知本題是一個(gè)古典概型，用列舉法求出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果；對(duì)于第(3)問(wèn)，首先求出樣本的平均數(shù)，求出事件發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果。

　　解析：(1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意，得

　　=，n=2000，y=2000-(100+300)-150-450-600=400。

　　(2)設(shè)所抽樣本中有a輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，由題意得a=2。因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，3輛豪華型轎車，用A1，A2表示2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用B1，B2，B3表示3輛豪華型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛轎車，其中至少有1輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車”，則總的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個(gè)，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個(gè)，故所求概率為P(E)=。

　　(3)樣本平均數(shù)=×(9。3+8。7+9。1+9。5+8。8+9。4+9。0+8。2+9。6+8。4)=9。

　　設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個(gè)數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的少有值不超過(guò)0。4”，則總的基本事件有10個(gè)，事件D包括的基本事件有9。3，8。7，9。1，8。8，9。4，9。0，共6個(gè)。

　　所求概率為P(D)==。