高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)解析：排列組合公式

2016-12-08 17:59:04 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　
　　
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　　排列組合公式/排列組合公式
　　
　　排列P------和順序有關(guān)
　　
　　組合C-------不牽涉到順序的問題
　　
　　排列分順序，組合不分
　　
　　例如把5本不同的書分給3個(gè)人，有幾種分法."排列"
　　
　　把5本書分給3個(gè)人，有幾種分法"組合"
　　
　　1．排列及公式
　　
　　從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)p(n，m)表示.
　　
　　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(規(guī)定0！=1).
　　
　　2．組合及公式
　　
　　從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)
　　
　　c(n，m)表示.
　　
　　c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；
　　
　　3．其他排列與組合公式
　　
　　從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！.
　　
　　n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1，n2，...nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為
　　
　　n！/(n1！*n2！*...*nk！).
　　
　　k類元素，每類的個(gè)數(shù)無限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c(m+k-1，m).
　　
　　排列（Pnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))）
　　
　　Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）�。ㄗⅲ海∈请A乘符號(hào)）；Pnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)）=n！；0！=1；Pn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n
　　
　　組合（Cnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))）
　　
　　Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m�。╪-m）！；Cnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)）=1；Cn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n；Cnm=Cnn-m
　　
　　2008-07-0813：30
　　
　　公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數(shù)R參與選擇的元素個(gè)數(shù)！-階乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
　　
　　從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1)；
　　
　　因?yàn)閺膎到（n-r+1)個(gè)數(shù)為n－（n-r+1)＝r
　　
　　舉例：
　　
　　Q1：有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？
　　
　　A1：123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列P”范疇。
　　
　　上問題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988，997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，較終共有9*8*7個(gè)三位數(shù)。公式＝P（3，9)＝9*8*7，(從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）
　　
　　Q2：有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，如果三個(gè)一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國聯(lián)盟”？
　　
　　A2：213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”范疇。
　　
　　上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為較終組合數(shù)C(3，9)=9*8*7/3*2*1
　　
　　排列、組合的概念和公式典型例題分析
　　
　　例1設(shè)有3名孩子和4個(gè)課外小組．（1）每名孩子都只參加一個(gè)課外小組；（2）每名孩子都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名孩子參加．各有多少種不同方法？
　　
　　解（1）由于每名孩子都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法．
　　
　�。�2）由于每名孩子都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名孩子參加，因此共有種不同方法．
　　
　　點(diǎn)評(píng)由于要讓3名孩子逐個(gè)選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行．
　　
　　例2排成一行，其中不排先進(jìn)，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？
　　
　　解依題意，符合要求的排法可分為先進(jìn)個(gè)排、、中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：
　　
　　∴符合題意的不同排法共有9種．
　　
　　點(diǎn)評(píng)按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理．為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型．
　　
　　例３判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并出結(jié)果．
　　
　�。�1）高三年級(jí)孩子會(huì)有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信？②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？
　　
　�。�2）高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)診斷，有多少種不同的選法？
　　
　　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：①從中任取兩個(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？

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