高中數學知識點盤點圓錐曲線弦的中點問題

2016-12-08 18:23:56 　來源：網絡整理

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　　對于點差法本身的具體含義，我們在下面的例子中就說明。在這里只說有關中點的軌跡方程問題，常見的類型有以下兩種：已知斜率或者是已知直線上一點，其中已知直線上一點有一種特殊情況，那就是已知直線中點，當然此時就不是求詭計，而是求其他參數，比如該直線方程啥的。如果沒錯的話，貌似諸多參考書都只是利用點差法解決中點弦問題，很少求軌跡方程，在這里以此書中的幾個例子來說明其進一步的應用。
　　
　�。ㄒ阎甭剩├}：求橢圓x2/16+y2/9=1中，斜率為k的平行弦的中點的軌跡方程
　　
　　解：設該縣與橢圓相交的兩點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為(x，y），則必然有：
　　
　　x1+x2=2x,y1+y2=2y
　　
　　x12/16+y12/9=1…………①
　　
　　x22/16+y22/9=1…………②
　　
　　①-②并化簡得到：
　　
　　(x1+x2)(x1-x2)/16+(y1+y2)(y1-y2)/9=0
　　
　　因為(y1-y2)/(x1-x2)=k,x1+x2=2x,y1+y2=2y,令所以上式變成：
　　
　　x/16+ky/9=0
　　
　　這便是其中點的軌跡方程
　　
　�。ㄒ阎本€上一點）例題：給定雙曲線x2-y2/2=1,過點A(2,1)的直線L與給定雙曲線交于A，B，求線段AB的中點P的軌跡方程。
　　
　　解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點P為(x，y），則必然有：
　　
　　x1+x2=2x,y1+y2=2y
　　
　　x12-y12/2=1…………①
　　
　　x22-y22/2=1…………②
　　
　　(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)/2=0，與先進題同理，設直線斜率為k，則該式子可以簡化成：x-ky/2=0
　　
　　根據斜率公式有：k=(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-2),帶入上式得：
　　
　　2x2-y2-4x+y=0
　　
　　這便是中點P的軌跡方程。
　　
　　舉這兩個例子，是想告訴大家點差法的應用是很廣泛的，對于研究曲線中點問題很有幫助，在上面的題目中有一些換算比較巧，這種感覺就靠自己平時的多加訓練了，這里面的技巧當然不止于此。

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