泰勒公式

2018-07-21 22:54:33 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　泰勒公式！數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值。下面為大家分享泰勒公式!希望能幫到大家！

泰勒公式

公式描述：泰勒公式可以用若干項連加式來表示一個函數(shù)，這些相加的項由函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)求得。

　　驗證推導(dǎo)

公式推導(dǎo)我們知道，根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有：

于是：

其中誤差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趨向于0，所以在近似中往往不夠準(zhǔn)確。于是我們需要一個能夠足夠準(zhǔn)確的且能估計出誤差的多項式：

來近似地表示函數(shù)f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達(dá)式。設(shè)函數(shù)P(x)滿足：

于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，顯然有：

，所以

;

，所以

;

，所以

;

，所以

;至此，多項的各項系數(shù)都已求出，得：

以上就是函數(shù)

的泰勒展開式。接下來就要求誤差的具體表達(dá)式了。設(shè)

，令

得到：

進(jìn)而：

根據(jù)柯西中值定理：

其中θ1在x和x0之間;繼續(xù)使用柯西中值定理得到：

其中θ2在θ1和x0之間;連續(xù)使用n+1次后得到：

其中θ在x和x0之間;同時：

而：

進(jìn)而：

綜上可得：

一般來說展開函數(shù)時都是為了的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。 [1]

麥克勞林展開函數(shù)的麥克勞林展開指上面泰勒公式中x0取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若f(x)在x=0處n階連續(xù)可導(dǎo)，則下式成立：

其中

表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)

，其中δ在0與x之間時，公式稱為拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式;當(dāng)

時公式稱為帶佩亞諾型余項的n階麥克勞林公式。 [1]

近似表達(dá)正弦函數(shù)

θ的性質(zhì)編輯n階泰勒公式中的余項寫成如下形式的拉格朗日余項：

那么其中的θ的有一個重要性質(zhì)：當(dāng)

在

點(diǎn)連續(xù)，且

，則

。證明因為(1)

，

。(2)

，

。(3)

，

。[(1)-(2)](n+1)!/[(△x)^(n+1)]得：(4)

。(3)/(4)得

由于

在

點(diǎn)連續(xù)，且

，所以

。 [1]

公式應(yīng)用

實際應(yīng)用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數(shù)的有限項的泰勒級數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用于估算這種近似的誤差。泰勒展開式的重要性體現(xiàn)在以下五個方面：

冪級數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對比較容易。

一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復(fù)平面上的一個開片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。

泰勒級數(shù)可以用來近似函數(shù)的值，并估計誤差。

證明不等式。

求待定式的極限。 [1]

實例例1、展開三角函數(shù)y=sinx和y=cosx。解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)表得：

顯然y=sinx在x=0處具有任意階導(dǎo)數(shù)，并且

。根據(jù)麥克勞林公式：

類似地，可以展開y=cosx。例2、當(dāng)

時，證明

。證明：函數(shù)

在

點(diǎn)處的二階泰勒公式為

在

時，顯然成立

，即

。例3、求極限

。解：利用(1)

;(2)

;(3)

;(4)

;可得

。例4、近似值

，并估計誤差。解：對指數(shù)函數(shù)

運(yùn)用麥克勞林展開式并舍棄余項：

當(dāng)x=1時：

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。誤差為

例5、歐拉公式：

(其中

，即一個虛數(shù)單位)證明：由于在實數(shù)范圍以內(nèi)，

將該式子擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系內(nèi)以定義指數(shù)函數(shù)，得到

特別地，當(dāng)上式z=ib時，有

把上面的b換成x，就得到了歐拉公式。由歐拉公式，對任意一個復(fù)數(shù)z=a+ib，有

即復(fù)數(shù)z的指數(shù)函數(shù)依然是一個復(fù)數(shù)，這個復(fù)數(shù)的模r=ea，幅角θ=b。若b=0，則ez=ea(cos0+isin0)=ea(1+0)=ea，與實變函數(shù)f(x)=ex在x=a時的函數(shù)值相同。

　　導(dǎo)數(shù)的解題方法與技巧-高中數(shù)學(xué)選修2-2先進(jìn)章

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