積分公式

2018-07-21 23:09:34 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　積分公式！積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說(shuō)是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。下面為大家分享積分公式!希望能幫到大家！

積分公式

公式描述：式一為定積分公式，式二為不定積分公式。其中f(x)為被積函數(shù)，F(xiàn)(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，積分區(qū)間為[a,b]。

公式種類(lèi)

不定積分設(shè)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C(C為任意常數(shù))叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作，即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做積分號(hào)，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)不定積分的過(guò)程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。 [1] 注：∫f(x)dx+c1=∫f(x)dx+c2, 不能推出c1=c2

定積分積分是微積分學(xué)與數(shù)學(xué)分析里的一個(gè)核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。 [2] 直觀地說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的實(shí)函數(shù)f(x)，在區(qū)間[a，b]上的定積分記為：

若f(x)在[a,b]上恒為正，可以將定積分理解為在Oxy坐標(biāo)平面上，由曲線(xiàn)(x，f(x))、直線(xiàn)x=a、x=b以及x軸圍成的面積值(一種確定的實(shí)數(shù)值)。

其他積分的種類(lèi)還有如下幾類(lèi)： [3]

黎曼積分

達(dá)布積分

勒貝格積分

黎曼-斯蒂爾杰斯積分

數(shù)值積分

公式匯總

不定積分不定積分的積分公式主要有如下幾類(lèi)：含ax+b的積分、含√(a+bx)的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b(a>0)的積分、含有√(a²+x^2) (a>0)的積分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分、含有三角函數(shù)的積分、含有反三角函數(shù)的積分、含有指數(shù)函數(shù)的積分、含有對(duì)數(shù)函數(shù)的積分、含有雙曲函數(shù)的積分。 [2] 含a+bx的積分含有a+bx的積分公式主要有以下幾類(lèi)： [4]

含√(a+bx)的積分含有√(a+bx)的積分公式主要包含有以下幾類(lèi)： [5]

含有x^2±α^2的積分

含有ax^2+b(a>0)的積分

含有√(a^2+x^2) (a>0)的積分被積函數(shù)中含有√(a^2+x^2) (a>0)的積分有 [2] ：

含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分被積函數(shù)中含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分有： [4] 對(duì)于a2>x2有：

含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分被積函數(shù)中含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分有 [2] [4] [5]

含有三角函數(shù)的積分被積函數(shù)中含有三角函數(shù)的積分公式有： [5]

含有反三角函數(shù)的積分被積函數(shù)當(dāng)中含有反三角函數(shù)的積分公式有 [2] ：

含有指數(shù)函數(shù)的積分被積函數(shù)當(dāng)中包含有指數(shù)函數(shù)的積分公式 [4] ：

含有對(duì)數(shù)函數(shù)的積分被積函數(shù)當(dāng)中包含有對(duì)數(shù)函數(shù)的積分公式 [5] ：

含有雙曲函數(shù)的積分被積函數(shù)當(dāng)中包含有雙曲函數(shù)的積分公式有 [2] ：

定積分定積分公式有以下幾種 [1] [4]

積分性質(zhì)

通常意義上的積分都滿(mǎn)足一些基本的性質(zhì)。以下積分區(qū)域

的在黎曼積分意義上表示一個(gè)區(qū)間，在勒貝格積分意義下表示一個(gè)可測(cè)集合。積分的性質(zhì)有：線(xiàn)性性、保號(hào)性、極大值極小值、少有連續(xù)性、少有值積分等。 [1]

線(xiàn)性性積分是線(xiàn)性的。如果一個(gè)函數(shù)f 可積，那么它乘以一個(gè)常數(shù)后仍然可積。如果函數(shù)f和g可積，那么它們的和與差也可積。

保號(hào)性如果一個(gè)函數(shù)f在某個(gè)區(qū)間上黎曼可積，并且在此區(qū)間上大于等于零。那么它在這個(gè)區(qū)間上的積分也大于等于零。如果f勒貝格可積并且?guī)缀蹩偸谴笥诘扔诹�，那么它的勒貝格積分也大于等于零。作為推論，如果兩個(gè)上的可積函數(shù)f和g相比，f(幾乎)總是小于等于g，那么f的(勒貝格)積分也小于等于g的(勒貝格)積分。 [6] [3] 如果黎曼可積的非負(fù)函數(shù)f在上的積分等于0，那么除了有限個(gè)點(diǎn)以外，f = 0。如果勒貝格可積的非負(fù)函數(shù)f在上的積分等于0，那么f幾乎處處為0。如果中元素A的測(cè)度μ (A)等于0，那么任何可積函數(shù)在A上的積分等于0。 [6] [3] 函數(shù)的積分表示了函數(shù)在某個(gè)區(qū)域上的整體性質(zhì)，改變函數(shù)某點(diǎn)的取值不會(huì)改變它的積分值。對(duì)于黎曼可積的函數(shù)，改變有限個(gè)點(diǎn)的取值，其積分不變。對(duì)于勒貝格可積的函數(shù)，某個(gè)測(cè)度為0的集合上的函數(shù)值改變，不會(huì)影響它的積分值。如果兩個(gè)函數(shù)幾乎處處相同，那么它們的積分相同。如果對(duì)中任意元素A，可積函數(shù)f在A上的積分總等于(大于等于)可積函數(shù)g在A上的積分，那么f幾乎處處等于(大于等于)g。 [3]

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