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平方和公式

2018-07-23 12:56:09 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　平方和公式！平方和公式是一個(gè)比較常用公式，用于求連續(xù)自然數(shù)的平方和(Sum of squares)，可用來求很多關(guān)于平方數(shù)的數(shù)學(xué)題，其和又可稱之為四角錐數(shù)，或金字塔數(shù)(square pyramidal number)也就是正方形數(shù)的級(jí)數(shù)。下面小編為大家分享平方和公式!希望能幫到大家！

 

 

平方和公式

 

利用此公式可求得前幾項(xiàng)和為：

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385,

506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870,

3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, 6930, 7714, 8555, 9455,

10416, 11440, 12529, 13685, 14910, 16206, 17575, 19019, 20540, 22140,

23821, 25585, 27434, 29370…… [3]

證明方法

證法一　(歸納猜想法)：1、 時(shí)，

2、 時(shí)，

3、設(shè) 時(shí)，公式成立，即

則當(dāng)時(shí)，

也滿足公式。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)一切自然數(shù)n有

成立。

證法二 (利用恒等式）

)：

，…………

.求和得：

,由于

(可由倒序求和得到),代入上式得：

整理后得：

證法三( ) ：

令 =

=

因?yàn)?/p>

所以，

證法四　(排列組合法)：

由于

，因此我們有

 

=

由于 ，

，于是我們有

證法五

 (拆分，直接推導(dǎo)法)：1=12²=1+33²=1+3+54²=1+3+5+7...(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]n²=1+3+5+7+...+[2n-1]求和得：

……(*)因?yàn)榍皀項(xiàng)平方和與前n-1項(xiàng)平方和差為n²

代入(*)式，得：

此式即

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