立方和公式

2018-07-24 15:33:20 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　立方和公式！立方和公式是有時在數(shù)學(xué)運算中需要運用的一個公式。該公式的文字表達為：兩數(shù)和，乘它們的平方和與它們的積的差，等于這兩個數(shù)的立方和。下面小編為大家分享立方和公式!希望能幫到大家！

立方和公式

推導(dǎo)過程：

立方和：a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)

完全立方公式(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³

分解步驟如下(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3

解題時常用它的變形：(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b)　和　a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³立方和累加正整數(shù)范圍中

注：可用數(shù)學(xué)歸納法證明

公式證明

迭代法一我們知道：0次方和的求和公式

，即

1次方和的求和公式

，即

2次方和的求和公式

，即

——平方和公式，此公式可由同種方法得出，取公式

，迭代即得 [1] 。具體如下：(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1利用上面這個式子有：23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 133 - 23 = 3×22 + 3×2 + 143 - 33 = 3×32 + 3×3 + 153 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1……(n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1把上述各等式左右分別相加得到：(n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1)其中12 + 22 + 32 + …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6代入(1)式，整理後得 13 + 23 + 33 + …… + n3=[n(n+1)/2]2

迭代法二取公式：