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解:記5的約數(shù)個數(shù)為Y1,
32×5的約數(shù)個數(shù)為Y2,
360(=23×32×5)的約數(shù)個數(shù)為Y3.由上面的分析可知:
Y3=4×Y2,Y2=3×Y1,
顯然Y1=2(5只有1和5兩個約數(shù))。
因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24個約數(shù)。
說明:Y3=4×Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數(shù)的個數(shù),也就是其中2的較大指數(shù)加1,也就是360=23×32×5中質(zhì)因數(shù)2的個數(shù)加1;Y2=3×Y1中的“3”即為“1、3、32”中數(shù)的個數(shù),也就是23×32×5中質(zhì)因數(shù)3的個數(shù)加1;而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數(shù)的個數(shù),即23×32×5中質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)加1.因此
Y3=(3+1)×(2+1)×(1+1)=24。
對于任何一個合數(shù),用類似于對23×32×5(=360)的約數(shù)個數(shù)的討論方式,我們可以得到一個關(guān)于求一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的重要結(jié)論:
一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù),等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)(即指數(shù))加1的連乘的積。
例10 求240的約數(shù)的個數(shù)。
解:∵240=24×31×51,
∴240的約數(shù)的個數(shù)是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,
∴240有20個約數(shù)。
請你列舉一下240的所有約數(shù),再數(shù)一數(shù),看一看是否是20個?
題目:
1.邊長為自然數(shù),面積為105的形狀不同的長方形共有多少種?
2.11112222個棋子排成一個長方陣.每一橫行的棋子數(shù)比每一豎列的棋子數(shù)多1個.這個長方陣每一橫行有多少個棋子?
3.五個相鄰自然數(shù)的乘積是55440,求這五個自然數(shù)。
4.自然數(shù)a乘以338,恰好是自然數(shù)b的平方.求a的較小值以及b。
5.求10500的約數(shù)共有多少個?
題目答案:
1.∵105=3×5×7,
105=1×105=3×35=5×21=7×15,
∴共有4種。
2.分析
每一橫行棋子數(shù)比每一豎列棋子數(shù)多1個。
橫行數(shù)與豎列數(shù)應(yīng)是兩個相鄰的自然數(shù).
解:11112222=3333×3334
答案為3334。
3.7、8、9、10、11。
4.分析
∵自然數(shù)a乘以338,恰好是自然數(shù)b的平方,
∴a與338的積分解質(zhì)因數(shù)以后,每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)之和都是偶數(shù)。
解:∵338=2×13×13,
∴a=2,b=2×13=26。
5.解:∵10500=22×3×53×7,
又∵(2+1)×(1+1)×(3+1)×(1+1)=48。
∴10500的約數(shù)共有48個。
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