2021北京朝陽區(qū)初一期末

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二元一次方程的解法 　　

1、直接開平方法： 　　

直接開平方法就是用直接開平方求解二元一次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±根號(hào)下n+m. 　　

例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11 　　

分析：(1)此方程顯然用直接開平方法好做，(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。 　　

(1)解：(3x+1)2=7× 　　

∴(3x+1)2=5 　

∴3x+1=±(注意不要丟解) 　　

∴x= 　　

∴原方程的解為x1=,x2= 　　

(2)解：9x2-24x+16=11 　　

∴(3x-4)2=11 　　

∴3x-4=± 　　

∴x= 　　

∴原方程的解為x1=,x2= 　　

2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 　　

先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c 　　

將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2+x=- 　　

方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 　　

方程左邊成為一個(gè)完全平方式：(x+)2= 　　

當(dāng)b^2-4ac≥0時(shí)，x+=± 　　

∴x=(這就是求根公式)　　例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方) 　　

解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊3x^2-4x=2 　　

將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2-x= 　　

方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2-x+()2=+()2 　　

配方：(x-)2= 　　

直接開平方得：x-=± 　　

∴x= 　　

∴原方程的解為x1=,x2=. 　　

3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 　　

例3.用公式法解方程2x2-8x=-5 　　

解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0 　　

∴a=2,b=-8,c=5 　　

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 　　

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) 　　

∴原方程的解為x1=,x2=.

例4.用因式分解法解下列方程： 　　

(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0 　　

(3)6x2+5x-50=0(選學(xué))(4)x2-2(+)x+4=0(選學(xué)) 　　

(1)解：(x+3)(x-6)=-8化簡(jiǎn)整理得 　　

x2-3x-10=0(方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零) 　　

(x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式) 　　

∴x-5=0或x+2=0(轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) 　　

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 　　

(2)解：2x2+3x=0 　　

x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式) 　　

∴x=0或2x+3=0(轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) 　　

∴x1=0，x2=-是原方程的解。 　　

注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解。 　

(3)解：6x2+5x-50=0 　　

(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號(hào)不要出錯(cuò)) 　　

∴2x-5=0或3x+10=0 　　

∴x1=,x2=-是原方程的解。 　　(4)解：x2-2(+)x+4=0(∵4可分解為2·2，∴此題可用因式分解法) 　　(x-2)(x-2)=0 　　

∴x1=2,x2=2是原方程的解。 　　

小結(jié)：　　一般解一元二次方程，較常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。 　　

直接開平方法是較基本的方法。 　　

公式法和配方法是較重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為通用法)，在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先判別式的值，以便判斷方程是否有解。 　　

配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 　　

解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。(三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法)。

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