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北京四中新高一分班考計(jì)算

2021-07-06 11:17:48  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

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     【一】

  一、集合有關(guān)概念

  1.集合的含義

  2.集合的中元素的三個(gè)特性:

  (1)元素的確定性,

  (2)元素的互異性,

  (3)元素的無序性,

  3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

  注意:常用數(shù)集及其記法:

  非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

  正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R

  1)列舉法:{a,b,c……}

  2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

  3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4)Venn圖:

  4、集合的分類:

  (1)有限集含有有限個(gè)元素的集合

  (2)無限集含有無限個(gè)元素的集合

  (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

  二、集合間的基本關(guān)系

  1.“包含”關(guān)系—子集

  注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

  2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實(shí)例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

  即:①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

 、谡孀蛹:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

 、廴绻鸄B,BC,那么AC

 、苋绻鸄B同時(shí)BA那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集

  三、集合的運(yùn)算

  運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集

  定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.

  由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).

  設(shè)S是一個(gè)集合,A是S的一個(gè)子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)

  例題:

  1.下列四組對(duì)象,能構(gòu)成集合的是()

  A某班所有高個(gè)子的孩子B的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)

  2.集合{a,b,c}的真子集共有個(gè)

  3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},則M與N的關(guān)系是.

  4.設(shè)集合A=,B=,若AB,則的取值范圍是

  5.50名孩子做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn),已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有40人,化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有31人,

  兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人,則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有人。

  6.用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界上的點(diǎn))組成的集合M=.

  7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

  二、函數(shù)的有關(guān)概念

  1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

  注意:

  1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

  求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

  (3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

  (4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

  (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

  (6)指數(shù)為零底不可以等于零,

  (7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

  相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

  (見課本21頁相關(guān)例2)

  2.值域:先考慮其定義域

  (1)觀察法

  (2)配方法

  (3)代換法

  3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納

  (1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上.

  (2)畫法

  A、描點(diǎn)法:

  B、圖象變換法

  常用變換方法有三種

  1)平移變換

  2)伸縮變換

  3)對(duì)稱變換

  4.區(qū)間的概念

  (1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

  (2)無窮區(qū)間

  (3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

  5.映射

  一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作f:A→B

  6.分段函數(shù)

  (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

  (2)各部分的自變量的取值情況.

  (3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.

  補(bǔ)充:復(fù)合函數(shù)

  如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

  二.函數(shù)的性質(zhì)

  1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

  (1)增函數(shù)

  設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1

  如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

  注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);

  (2)圖象的特點(diǎn)

  如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

  (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

  (A)定義法:

  ○1任取x1,x2∈D,且x1

  ○2作差f(x1)-f(x2);

  ○3變形(通常是因式分解和配方);

  ○4定號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));

  ○5下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

  (B)圖象法(從圖象上看升降)

  (C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

  復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”

  注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

  8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

  (1)偶函數(shù)

  一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

  (2).奇函數(shù)

  一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

  (3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

  偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

  利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

  ○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

  ○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;

  ○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

  (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;

  (3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.

  9、函數(shù)的解析表達(dá)式

  (1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

  (2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:

  1)湊配法

  2)待定系數(shù)法

  3)換元法

  4)消參法

  10.函數(shù)(小)值(定義見課本p36頁)

  ○1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(小)值

  ○2利用圖象求函數(shù)的(小)值

  ○3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(小)值:

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有值f(b);

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有較小值f(b);

  例題:

  1.求下列函數(shù)的定義域:

 、泞

  2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn),則函數(shù)的定義域?yàn)開_

  3.若函數(shù)的定義域?yàn),則函數(shù)的定義域是

  4.函數(shù),若,則=

  6.已知函數(shù),求函數(shù),的解析式

  7.已知函數(shù)滿足,則=。

  8.設(shè)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí)=

  在R上的解析式為

  9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

 、(2)

  10.判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.

  11.設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證

  【二】

  1、函數(shù)零點(diǎn)的定義

  (1)對(duì)于函數(shù))(xfy,我們把方程0)(xf的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù))(xfy的零點(diǎn)。

  (2)方程0)(xf有實(shí)根Û函數(shù)()yfx的圖像與x軸有交點(diǎn)Û函數(shù)()yfx有零點(diǎn)。因此判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn),有幾個(gè)零點(diǎn),就是判斷方程0)(xf是否有實(shí)數(shù)根,有幾個(gè)實(shí)數(shù)根。函數(shù)零點(diǎn)的求法:解方程0)(xf,所得實(shí)數(shù)根就是()fx的零點(diǎn)(3)變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn)

 、偃艉瘮(shù)()fx在零點(diǎn)0x左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào),則稱該零點(diǎn)為函數(shù)()fx的變號(hào)零點(diǎn)。②若函數(shù)()fx在零點(diǎn)0x左右兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào),則稱該零點(diǎn)為函數(shù)()fx的不變號(hào)零點(diǎn)。

 、廴艉瘮(shù)()fx在區(qū)間,ab上的圖像是一條連續(xù)的曲線,則0)()(

  2、函數(shù)零點(diǎn)的判定

  (1)零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù))(xfy在區(qū)間],[ba上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有()()0fafb,那么,函數(shù))(xfy在區(qū)間,ab內(nèi)有零點(diǎn),即存在),(0bax,使得0)(0xf,這個(gè)0x也就是方程0)(xf的根。

  (2)函數(shù))(xfy零點(diǎn)個(gè)數(shù)(或方程0)(xf實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù))確定方法

 、俅鷶(shù)法:函數(shù))(xfy的零點(diǎn)Û0)(xf的根;②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù))(xfy的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。

  (3)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定

  0)(xfy有2個(gè)零點(diǎn)Û0)(xf有兩個(gè)不等實(shí)根;0)(xfy有1個(gè)零點(diǎn)Û0)(xf有兩個(gè)相等實(shí)根;0)(xfy無零點(diǎn)Û0)(xf無實(shí)根;對(duì)于二次函數(shù)在區(qū)間,ab上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),要結(jié)合圖像進(jìn)行確定.

  3、二分法

  (1)二分法的定義:對(duì)于在區(qū)間[,]ab上連續(xù)不斷且()()0fafb的函數(shù)()yfx,通過不斷地把函數(shù)()yfx的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法;

  (2)用二分法求方程的近似解的步驟:

  ①確定區(qū)間[,]ab,驗(yàn)證()()0fafb,給定準(zhǔn)確度e;

 、谇髤^(qū)間(,)ab的中點(diǎn)c;③()fc;

  (ⅰ)若()0fc,則c就是函數(shù)的零點(diǎn);

  (ⅱ)若()()0fafc,則令bc(此時(shí)零點(diǎn)0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,則令ac(此時(shí)零點(diǎn)0(,)xcb);

 、芘袛嗍欠襁_(dá)到準(zhǔn)確度e,即ab,則得到零點(diǎn)近似值為a(或b);否則重復(fù)②至④步.

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