高考數(shù)學(xué)基本不等式的應(yīng)用與常見(jiàn)錯(cuò)誤評(píng)析

　　基本不等式及應(yīng)用是高中階段一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)；其方法靈活，應(yīng)用廣范。在學(xué)習(xí)過(guò)程中要求孩子對(duì)公式的條件、形式、結(jié)論等要熟練掌握，才能靈活運(yùn)用。

　　一、基本不等式：

　　1.a,b∈R，a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成立，

　　2.a,b∈R+，a+b≥2-，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成立。

　　二、問(wèn)題1：設(shè)ab﹤0,則:-+-的取值范圍是( )

　　(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)

　　解題辨析：

　　常見(jiàn)錯(cuò)誤解法：因?yàn)?與-的積為定值，其和有較小值，

　　即-+-≥2所以選擇答案(D)。此解法是錯(cuò)的，是因?yàn)?﹤0

　　-﹤0并不滿(mǎn)足不等式：a+b≥2-中字母的條件；

　　正確方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0

　　(--)+(--)≥2，即-+-≤-2，正確答案是(A)

　　問(wèn)題2：已知x是正實(shí)數(shù)，求函數(shù)y=x2+-的較小值？

　　解題辨析：

　　常見(jiàn)錯(cuò)誤解法：因x是正實(shí)數(shù)，y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的較小值是2-，當(dāng)且僅當(dāng)x2=-，即x=-時(shí)，等號(hào)成立；此解法錯(cuò)誤的原因是x2與-的積

　　2-并不是定值。

　　正確結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a與b，

　　當(dāng)和為定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，其積有較大值；

　　當(dāng)積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，其和有較小值。

　　正確方法是：因x是正實(shí)數(shù)，y=x2+-=x2+-+-

　　≥3·■=3,

　　當(dāng)且僅當(dāng)：x2=-等號(hào)成立，即x=1時(shí)，y=x2+-的較小值是3

　　問(wèn)題3：已知x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+4y=1，求：-+-的較小值？

　　解題辨析：

　　常見(jiàn)錯(cuò)誤解法：因?yàn)閤,y都是正實(shí)數(shù)1=x+4y≥2-

　　即1≥4-＞0，-+-≥

　　2-＞0，兩式相乘得-+-≥8

　　所以-+-的較小值是8，此解法錯(cuò)誤的原因是不等式x+4y≥2-取等號(hào)的條件是x=4y，而不等式-+-≥2-取等號(hào)的條件是x=y，而這兩個(gè)條件不可能同時(shí)成立，因此-+-≥8中的等號(hào)不成立。

　　正確方法是：x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+4y=1，所以-+-=(-+-)·（x+4y)=1+4+(-+-)≥5+

　　2-=9，當(dāng)且僅當(dāng)-=-等號(hào)成立，

　　即當(dāng)且僅當(dāng)x=-，y=-時(shí)，-+-取得較小值是9

　　問(wèn)題4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的較大值？

　　解題辨析：

　　常見(jiàn)錯(cuò)誤解法：

　　xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3

　　即：xm+yn的較大值為3

　　此解法錯(cuò)誤的原因是當(dāng)xm+yn取得較大值3時(shí)，x=m，y=n要同時(shí)成立，即有x2+y2=m2+n2，而這是不可能的。

　　正確解法：因?yàn)閤2+y2=2,m2+n2=4，兩式相乘

　　8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn

　　8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-

　　即當(dāng)且僅當(dāng)xn=ym時(shí)，xm+yn取較大值為2-

　　總之，基本不等式解決問(wèn)題并不是通用的。學(xué)習(xí)過(guò)程中，要深刻理解基本不等式的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，搞清其條件、公式、結(jié)論之間的辯證關(guān)系是關(guān)鍵。特別對(duì)于第二個(gè)基本不等式，我們常說(shuō)“一正、二定、三等號(hào)”，其意義就在于此。

　　訓(xùn)練題

　　一、填空題：

　　1.已知x,y都是正實(shí)數(shù)，且-+-=1,則x+y較小值是_______，

　　當(dāng)且僅當(dāng)x=_______,y=_______,

　　2.已知：abc均為實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1,則ab+bc+ca的較大值是________

　　較小值是_________。

　　3.已知：a,b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=1，則(a+-)2+(b+-)2的較小值是__________。

　　二、選擇題：

　　1.已知：a,b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=1，則-+-的較大值是( )

　　(A)-(B)-(C)2-(D)3

　　2.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,則實(shí)數(shù)c的范圍是( )

　　(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]

　　三、解答題：

　　1.已知矩形的面積與其周長(zhǎng)相等，求其面積的較小值？

　　2.⑴比較大�。憨S23_____㏒34,㏒56______㏒67

　�、聘鶕�(jù)上述結(jié)論作出推廣，試寫(xiě)出一個(gè)有關(guān)于自然數(shù)n的不等式，并證明之。

　　答案：

　　一、 填空題：

　　1. x+y較小值是9， 當(dāng)且僅當(dāng) x=6,y=3。

　　2. ab+bc+ca的較大值是1 , 較小值是--。

　　3.(a+-)2+(b+-)2的較小值是- ,　　二、 選擇題：

　　1.(C), 2.(D)

　　三、 解答題：

　　1.16

　　2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67

　�、� ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要證明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。

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