高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：集合與映射專題復(fù)習(xí)指導(dǎo)

　　一、集合與簡易邏輯

　　復(fù)習(xí)導(dǎo)引：這部分高功課一般以選擇題與填空題出現(xiàn)。多數(shù)題并不是以集合內(nèi)容為載體，只是用了集合的表示方法和簡單的交、并、補運算。這部分題其內(nèi)容的載體涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、排列組合等知識。復(fù)習(xí)這一部分特別請讀者注意第1題，闡述了如何審題，第3、5題的思考方法。簡易邏輯部分應(yīng)把目光集中到“充要條件”上。

　　1.設(shè)集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、…Sk都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1，2，3，…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示兩個數(shù)x、y中的較小者)。則k的較大值是( )

　　A.10 B. 11

　　C. 12 D. 13

　　分析：審題是解題的源頭，數(shù)學(xué)審題訓(xùn)練是對數(shù)學(xué)語言不斷加深理解的過程。以本題為例min{-,-}≠{-,-}如何解決？我們不妨把抽象問題具體化！

　　如Si={1,2},Sj={2,3}那么min{-,2}為-，min{-,-}為-,Si是Sj符合題目要求的兩個集合。若Sj={2，4}則與Si={2，4}按題目要求應(yīng)是同一個集合。

　　題意弄清楚了，便有{1，2}，{2，4}，{1，3}，{2，6}，{1，2}，{3，6}，{2，3}，{4，6}按題目要求是4個集合。M是6個元素構(gòu)成的集合，含有2個元素組成的集合是C62=15個，去掉4個，滿足條件的集合有11個，故選B。

　　注：把抽象問題具體化是理解數(shù)學(xué)語言，準(zhǔn)確抓住題意的捷徑。

　　2.設(shè)I為全集，S1、S2、S3是I的三個非空子集，且S1∪S2∪S3=I，則下面論斷正確的是( )

　　(A)CIS1∩(S2∪S3)=

　　(B)S1(CIS2∩CIS3)

　　(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=

　　(D)S1(CIS2∪CIS3)

　　分析：這個問題涉及到集合的“交”、“并”、“補”運算。我們在復(fù)習(xí)集合部分時,應(yīng)讓同學(xué)掌握如下的定律:

　　摩根公式

　　CIA∩CIB=CI(A∪B)

　　CIA∪CIB=CI(A∩B)

　　這樣,選項C中:

　　CIS1∩CIS2∩CIS3

　　=CI(S1∪S2∪S3)

　　由已知

　　S1∪S2∪S3=I

　　即CI(S1∪S2∪S3)=CI=

　　而上面的定律并不是復(fù)習(xí)中硬加上的,這個定律是教材訓(xùn)練一道題目的引申。所以,高考復(fù)習(xí)源于教材,高于教材。

　　這道題的解決,也可用特殊值法,如可設(shè)S1={1，2}，S2={1，3}，S3={1，4}問題也不難解決。

　　3.是正實數(shù)，設(shè)S={|f(x)=cos[(x+])是奇函數(shù)}，若對每個實數(shù)a，S∩(a，a+1)的元素不超過2個，且有a使S∩(a，a+1)含2個元素，則的取值范圍是 。

　　解：由f(x)=cos[(x+)]是奇函數(shù),可得cosx·cos=0,cosx不恒為0，

　　∴cos=0,=k+-，k∈Z

　　又>0，∴=-(k+-)

　　(a，a+1)的區(qū)間長度為1,在此區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個角, 兩個角之差為:-(k1+k2)

　　不妨設(shè)k≥0，k∈Z：

　　兩個相鄰角之差為-<1,>。

　　若在區(qū)間(a，a+1)內(nèi)僅有二角,那么-≥1，≤2，∴<≤2。

　　注：這是集合與三角函數(shù)綜合題。

　　4.設(shè)集合A={(x,y)|y≥-|x-2|}，B={(x,y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠，

　　(1)b的取值范圍是 ；

　　(2)若(x，y)∈A∩B且x+2y的較大值為9，則b的值是 。

　　解：用圖形分別表示集合A、B。

　　-

　　-

　　-

　　B:y≤-|x|+b

　　從觀察圖形，易知

　　b≥1,A∩B≠；

　　(2)直線l方程為x+2y-2=0

　　直線x+2y=9平行于l，

　　其截距為-

　　∴b=-

　　5.集合A＝｛x|-＜0}，B＝｛x ||x -b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分條件， 則b的取值范圍是( 　)

　　A.-2≤b<0 B.0

　　C.-3

　　分析A={x|-1

　　A、B區(qū)間長度均為2。

　　我們從反面考慮，若A∩B≠

　　此時，b+1≤-1或b-1≥1

　　即b≤-2或b≥2。

　　b≤-2或b≥2為b不能取值的范圍，所以應(yīng)排除A、B、C,選D。

　　注：本題是以集合為基礎(chǔ)的充要條件，其難點并不是充要條件，而是對參數(shù)b的處理。本題的解法意在從A∩B≠出發(fā),類似于不等量關(guān)系，考慮等量關(guān)系使問題簡化，再用排除法。

　　6.函數(shù)f:{1,2,3}→{1,2,3}滿足f(f(x))=f(x)，則這樣的函數(shù)個數(shù)共有

　　(A)1個 (B)4個

　　(C)8個 (D)10個

　　解：根據(jù)對應(yīng)關(guān)系定義,從象的個數(shù)出發(fā)去思考。

　　(1)函數(shù)集合有一個象,如象為1,

　　這時f(x)=1,x=1,2,3

　　f[f(x)]=f(1)=1=f(x)

　　寫成對應(yīng)形式{1,2,3}f {1}

　　若f(x)=2,x=1,2,3有{1,2,3}f {2}

　　同理{1,2,3}f {3}

　　以上共有3個函數(shù)。

　　(2)函數(shù)集合有2個元素

　　如函數(shù)集合為{1,2}

　　有{1,3}f {1},{2}f {2}

　　這時f(1)=1,f[f(1)]=f(1)

　　f(3)=1,f[f(3)]=f(1)=f(3)

　　f(2)=1,f[f(2)]=f(2)

　　有兩個函數(shù)。

　　同理 函數(shù)集合為{1,3},{2,3}各有2個函數(shù)

　　綜上有6個函數(shù)

　　(3)函數(shù)集合有三個元素{1,2,3}

　　只有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3

　　∴有一個函數(shù),f(x)=x

　　∴綜上(1)、(2)、(3)共有10個函數(shù),故選D。

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