高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)：求空間圖形中的角

　　空間圖形中的角，包括異面直線所成角、直線與平面所成角和二面角。這些角的，是高考中的一項(xiàng)主要的考核內(nèi)容。做這類(lèi)題目，應(yīng)根據(jù)定義找出或作出所求的角。并根據(jù)題目的要求，一些線段的長(zhǎng)度，然后通過(guò)解三角形等方法求值。在解題時(shí)要注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一，還要注意各種角的范圍，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鏊鼈兊拇笮　．?dāng)然也可借助空間向量求這些角的大小。

　　例：在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點(diǎn)，

　　(1)求直線A′C與DE所成的角；

　　(2)求直線AD與平面B′EDF所成的角；

　　(3)求平面B′EDF與平面ABCD所成的銳二面角

　　解法一：

　　(1)解 如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)C作CP∥DE，交直線AD于P，則∠A′CP(或補(bǔ)角)為異面直線A′C與DE所成的角

　　在△A′CP中，易得A′C=-a，CP=DE=-a, A′P=-a

　　由余弦定理得cos(∠A′CP)=- 故A′C與DE所成角為arccos-

　　點(diǎn)評(píng)：異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，求解的方法主要是平移法和補(bǔ)形法。

　　(2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上(如圖)又可證明四邊形B′EDF為菱形(證明略)，∴DB′為∠EDF的平分線，

　　故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′，

　　在Rt△B′AD中，AD=-a，AB′=-a,B′D=-a，

　　則cosADB′=-，故AD與平面B′EDF所成的角是arccos-

　　點(diǎn)評(píng)：直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，求解的關(guān)鍵是找直線在平面上的射影。

　　(3)解 如圖，連結(jié)EF、B′D，交于O點(diǎn)，顯然O為B′D的中點(diǎn)，從而O為正方形ABCD-A′B′C′D的中心，作OH⊥平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足為M，連結(jié)OM，則OM⊥DE，故∠OMH為二面角B′-DE′-A的平面角

　　在Rt△DOE中，OE=-a,OD=-a,斜邊DE=-a,

　　則由面積關(guān)系得OM=-=-a，在Rt△OHM中，sinOMH=-=-，故平面B′EDF與平面ABCD所成的銳二面角為arcsin-

　　點(diǎn)評(píng)：二面角的范圍是0°≤θ≤180°，求解的方法主要是定義法、運(yùn)用三垂線定理及其逆定理和垂面法

　　解法二(向量法)

　　(1) 如圖建立坐標(biāo)系，則A′(0,0，a)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，E(a,-,0)→-＝(a,a,-a)，-＝(a,--,0)→cos＜-，-＞＝-=- 故A′C與DE所成角為arccos-

　　(2)∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上，如下圖所示，又∵B′EDF為菱形，∴DB′為∠EDF的平分線，

　　故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′，如圖建立坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B′(a,0,a)，D(0,a,0)→-＝(0,-a,0)，-＝(a,-a,a)→cos＜-，-＞＝-＝-，故AD與平面B′EDF所成的角是arccos-

　　(3) 由(1)知A(0,0,0)，A′(0,0，a)，B′(a,0,a)，D(0,a,0)，E(a,-,0)

　　所以面ABCD的法向量為-＝-=(0,0，a)下面求面B′EDF的法向量-

　　設(shè)-=(1,y,z)，由-＝(-a，-，0)，-＝(0，--，a)，-⊥--⊥-→-ax+-y=0--y+az=0 不妨取z=1，得-=(1,2，1) ∴cos＜-，-＞=-＝-

　　故平面B′EDF與平面ABCD所成的銳二面角為arccos-

　　點(diǎn)評(píng)：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量，以代數(shù)的方法求空間的一些角的大小，可以使求解過(guò)程變得簡(jiǎn)潔、明了。

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