高考數(shù)學(xué)利器：轉(zhuǎn)化思想的解題策略

2010-03-25 16:03:06 　來(lái)源：博客文章作者：匿名

　　當(dāng)我們遇到一個(gè)較難解決的問(wèn)題時(shí)，不是直接解原題目，而將題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一個(gè)已經(jīng)解決的或比較容易解決的數(shù)學(xué)題，從而使原題得到解決。

　　比如，對(duì)題目A常常有以下兩種轉(zhuǎn)化形式：A←→B←→C…G←→H;或者A←B←C…G←H等。

　　轉(zhuǎn)換這種重要的思維策略有著廣泛的應(yīng)用，這首先取決于數(shù)學(xué)本身是客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的反映，矛盾與對(duì)立不斷地處于轉(zhuǎn)化與統(tǒng)一之中，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中充滿了轉(zhuǎn)換：通過(guò)符號(hào)法則，有理數(shù)四則運(yùn)算就轉(zhuǎn)換成算術(shù)運(yùn)算;解方程就是應(yīng)用消元、降次的方法的一種轉(zhuǎn)換;平面圖形通過(guò)延拓、折迭構(gòu)成了空間形體;而空間中的問(wèn)題通常要轉(zhuǎn)換成平面的來(lái)研究;在證明了兩角和的余弦公式后通過(guò)對(duì)角的轉(zhuǎn)換可以得到一系列的和角、差角、倍角、半角的三角函數(shù)公式。在解題中轉(zhuǎn)換更是一種重要的策略和基本的手段。通常的轉(zhuǎn)化有廠面幾種。

　　1.問(wèn)題的情境的轉(zhuǎn)化

　　把需要解決的問(wèn)題從一個(gè)陌生的情境轉(zhuǎn)換成熟悉的、直觀的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

　　例　一個(gè)街區(qū)有 5條橫街 5條縱街，一個(gè)人從左上角 A處出發(fā)依較短途徑走到右下角B處，共有多少種不同的走法?

　　評(píng)析：如果要具體各種不同的走法，將會(huì)不勝其繁，因?yàn)樵诙鄶?shù)街道的交叉口，按照較短途徑的要求行人都只有二種可能的選擇：向右走橫街或向下走縱街，而不許走向左或向上，因此不易直接求解。但當(dāng)我們考慮行人從A到B的每一條較短途徑都由4段橫街和4段縱街構(gòu)成，因而每一種走法都對(duì)應(yīng)一種這4橫4縱的有序排列，反之亦然。因此，所求的不同的較短

　　2.特殊與一般的轉(zhuǎn)化

　　從特殊到一般，從具體到抽象是研究數(shù)學(xué)的一種基本方法，在一般情況下難以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，在特殊條件下比較容易暴露，而特殊情況下得出結(jié)論、方法也往往可推廣到一般場(chǎng)合，所以特殊和一般之間的轉(zhuǎn)換可以用來(lái)驗(yàn)證命題的正確性，探索解的途徑。

　　3.數(shù)量與圖形的轉(zhuǎn)化

　　這是一種重要的，并被廣泛使用的轉(zhuǎn)換。大量數(shù)式問(wèn)題潛在著圖形背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法。有時(shí)畫一個(gè)圖形給問(wèn)題的幾何直觀描述，從數(shù)式形的結(jié)合中易于找出問(wèn)題的邏輯關(guān)系。

　　4.命題間的映射轉(zhuǎn)化

　　如果數(shù)學(xué)命題(或問(wèn)題)在原集合A中直接解決比較困難，可以運(yùn)用某種法則把它映射到另一個(gè)集合B中去，得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的映射命題(或問(wèn)題)，然后在B集中討論并解決映射問(wèn)題，再把解決的結(jié)果逆映射到原集中來(lái)，從而使原命題獲得解決。這種轉(zhuǎn)化方法稱為映射法。用映射法轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x擇映射法。一般地，只要映射法則選擇得當(dāng)，映射問(wèn)題總是易于解決的，特別地，只要A集與B集能建立一一映射，則產(chǎn)生的新命題(或問(wèn)題)與原命題(或問(wèn)題)一定等價(jià)。此時(shí)逆映射過(guò)程往往可以省略，這就更加簡(jiǎn)單了。

　　5.構(gòu)造新命題的轉(zhuǎn)化

　　有些命題(或問(wèn)題)直接解決遇到困難，通過(guò)分析具體命題(或問(wèn)題)，設(shè)想構(gòu)造一個(gè)與原命題(或問(wèn)題)相關(guān)的新命題(或問(wèn)題)，通過(guò)對(duì)新命題(或問(wèn)題)的研究達(dá)到解決原命題(或問(wèn)題)的目的，這種轉(zhuǎn)化方法稱為構(gòu)造法。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中較富有活力的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方法之一，通常表現(xiàn)形式為構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造圖形等。

　　6.參數(shù)與消元的轉(zhuǎn)化

　　參數(shù)既是揭示變化過(guò)程中變量之間內(nèi)在聯(lián)系的媒介，又是刻劃變化過(guò)程的數(shù)學(xué)工具。利用參數(shù)這一本質(zhì)特性實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的方法叫參數(shù)法。經(jīng)常運(yùn)用參數(shù)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的形式有：引入?yún)?shù)將函數(shù)或方程變量個(gè)數(shù)減少;引入?yún)?shù)將問(wèn)題的解決歸結(jié)于對(duì)參數(shù)的討論。

　　7.條件強(qiáng)弱間的轉(zhuǎn)化

　　數(shù)學(xué)命題(或問(wèn)題)就所論條件和結(jié)論而言往往有強(qiáng)與弱、復(fù)雜與簡(jiǎn)單、一般與特殊、常義與極端情形之分，為敘述簡(jiǎn)便統(tǒng)稱前種情形為“甲種情形”，后種情形為“乙種情形”，若乙種情形的命題(或問(wèn)題)不易解決，有時(shí)“進(jìn)”一步先處理甲種情形的命題(或問(wèn)題)，因?yàn)榧追N情況的命題(或問(wèn)題)往往更能展示問(wèn)題的本質(zhì)屬性，所以由此推出原命題(或問(wèn)題)有時(shí)反而顯得很容易。反之，若甲種情形的命題(或問(wèn)題)不易解決，有時(shí)“退”一步先處理乙種情形的命題(或問(wèn)題)，因?yàn)橐曳N情形的命題(或問(wèn)題)往往寓含著甲種情形的某些本質(zhì)屬性和求解規(guī)律，挖掘發(fā)現(xiàn)這些東西可以在處理方法和結(jié)論上獲得解決甲種情形的有益啟示，從而使甲種情形較終獲得解決，這種轉(zhuǎn)化方法本文稱為“進(jìn)退法”。如“不等價(jià)變換”實(shí)現(xiàn)命題(或問(wèn)題)強(qiáng)與弱的轉(zhuǎn)化，“降化歸去”實(shí)現(xiàn)命題(或問(wèn)題)復(fù)雜與簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化，“歸納法”實(shí)現(xiàn)命題(或問(wèn)題)特殊與一般的轉(zhuǎn)化，都是進(jìn)退法轉(zhuǎn)化具體運(yùn)用形式，這是大家十分熟悉的，這類例子就不再列舉了，現(xiàn)僅舉其它幾例，從中可見(jiàn)運(yùn)用進(jìn)退法轉(zhuǎn)化的妙處。

　　8.命題結(jié)構(gòu)形式的轉(zhuǎn)化

　　這是一種比較高級(jí)、有一定難度的轉(zhuǎn)換，是不同的解題構(gòu)想的轉(zhuǎn)換，主要通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)行，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)智敏和思維的創(chuàng)造性。同時(shí)這種結(jié)構(gòu)上的轉(zhuǎn)換還反映出從整體到局部，從一般到特殊的關(guān)系。

　　9.等價(jià)與非等價(jià)的轉(zhuǎn)化

　　由命題A(或問(wèn)題A)可推出命題B(或問(wèn)題B)，反之，命題B(或問(wèn)題B)亦可推出命題A(或問(wèn)題A)。即A與B互為充要條件時(shí)，稱為A與B等價(jià)。利用這種等價(jià)性將原命題(或原問(wèn)題)轉(zhuǎn)化成易于處理的新命題(或新問(wèn)題)的方法稱為等價(jià)法。

　　產(chǎn)生等價(jià)命題(或問(wèn)題)經(jīng)常通過(guò)以下幾種途徑：更換等價(jià)的條件(或已知)和結(jié)論(或所求);通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷵Q;利用原命題與逆否命題的等價(jià)關(guān)系。

　　從以上的分析可以看出，轉(zhuǎn)換的本質(zhì)特征是知識(shí)和方法的遷移，這種遷移受一定條件的制約，從學(xué)習(xí)方法和認(rèn)識(shí)規(guī)律來(lái)說(shuō)，應(yīng)該由以下幾方面著手為聯(lián)想與轉(zhuǎn)換創(chuàng)造條件：

　　(l)知識(shí)的容量要大，要注意知識(shí)間的聯(lián)系與演變，不斷開拓思路，不斷收集、積累聯(lián)想、轉(zhuǎn)換的實(shí)例。

　　(2)逐步掌握數(shù)學(xué)的基本思想方法，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由低級(jí)向高級(jí)、由模仿到創(chuàng)新。聯(lián)想與轉(zhuǎn)換通常以一定的技巧、技能作為它的存在形式，而技巧與技能的形式與數(shù)學(xué)思想方法關(guān)系密切，這樣做一方面有利于牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)又有利于思維品質(zhì)的優(yōu)化。

　　(3)在學(xué)習(xí)中貫徹意義學(xué)習(xí)的原則，所謂意義學(xué)習(xí)就是新知識(shí)與學(xué)習(xí)者頭腦中認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)知識(shí)建立非人為的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，也就是說(shuō)，學(xué)習(xí)活動(dòng)要以不斷發(fā)展和完善認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)為目的。

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