支招高考數(shù)學(xué)考查重點(diǎn)函數(shù)問題

　　函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占的比重大，是高考考查的重點(diǎn)，每年單純考函數(shù)(這里不包括三角比和三角函數(shù))分值一般在30分左右，還有在其他內(nèi)容的考查中也涉及到函數(shù)思想的運(yùn)用。

　　近四年高考分析

　　函數(shù)教材內(nèi)容包括三個(gè)方面：函數(shù)的相關(guān)概念和函數(shù)運(yùn)算;函數(shù)基本性質(zhì);基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)。高考的診斷要求也可分三種類型：某個(gè)具體函數(shù)或某種函數(shù)性質(zhì)的簡單考查;函數(shù)性質(zhì)的綜合問題;函數(shù)思想及其函數(shù)建模應(yīng)用。(見表一)

　　從近幾年試題分析來看，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，特別是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，強(qiáng)調(diào)代數(shù)論證能力;除2009年外，反函數(shù)每年可能會(huì)考，但要求不高;重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合和分類討論思想;函數(shù)與方程思想、恒成立問題也是高考對(duì)函數(shù)的考查要求。

　　復(fù)習(xí)設(shè)想與建議

　　考生在后期函數(shù)復(fù)習(xí)中，要回歸課本，掌握教材的基本要求。此外，在平時(shí)訓(xùn)練和診斷中，解答與函數(shù)有關(guān)的問題 ，較好先明確問題中函數(shù)的基本要素和考查的內(nèi)容，分析已知與求解中所涉及的函數(shù)性質(zhì)，然后按照要求進(jìn)行論證和求解。

　　1. 正確理解函數(shù)及其相關(guān)概念：

　　(1)定義域、值域的求解(用集合表示，注意函數(shù)運(yùn)算以及實(shí)際問題的定義域)。

　　(2)函數(shù)的三種表示方法。如列表法

　　例如：已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分?jǐn)?shù)值如下(見表二)

　　則函數(shù)y=lg f(x)的定義域

　　(3)對(duì)分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)，會(huì)用分類討論的思想研究函數(shù)的較值、奇偶性和單調(diào)性等性質(zhì)。

　　(4)函數(shù)的和、積運(yùn)算可以幫助認(rèn)識(shí)一些復(fù)雜函數(shù)，如研究兩個(gè)具有奇偶性或單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算構(gòu)成的新函數(shù)性質(zhì)研究。

　　例如：研究函數(shù)f(x)=■-log2 ■的奇偶性和單調(diào)性，可分別對(duì)■和-log2■的性質(zhì)進(jìn)行研究(注意：函數(shù)的定義域(-1,0)U(0,1))。

　　2. 掌握函數(shù)的性質(zhì)和圖像特征：對(duì)每條性質(zhì)，較好能完整復(fù)述教材中的定義，能從正反兩方面給出具體函數(shù)性質(zhì)的判斷和證明，能記住有關(guān)函數(shù)性質(zhì)相互之間的聯(lián)系結(jié)論(如具有奇偶性的函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性)，能從圖像的高度認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)，并熟知常見的函數(shù)圖像變換。

　　能非常熟悉地寫出基本初等函數(shù)的所有性質(zhì)，通過舉反例證明函數(shù)不具有奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性做出函數(shù)的圖像;利用配方法、單調(diào)性和基本不等式等方法求函數(shù)的較值，特別要掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間的較值問題;關(guān)于零點(diǎn)可通過二分法找到根所在區(qū)域，用函數(shù)圖像確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解決函數(shù)問題時(shí)，重在分析問題的條件和結(jié)論，看能否用函數(shù)有關(guān)概念解釋并轉(zhuǎn)化求解。

　　3. 會(huì)作出一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)以及冪、指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像理解函數(shù)的性質(zhì)，并在實(shí)際問題中會(huì)用初等函數(shù)的性質(zhì)解決問題，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系。

　　例如：已知函數(shù)f(x)=x3+x。

　　(1)試求出函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，并作出圖像。

　　(2)是否存在自然數(shù)n使得f(n)=1000 ，若存在，求出n;若不存在，請(qǐng)說明理由。

　　4. 指、對(duì)數(shù)運(yùn)算(指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化)和指、對(duì)數(shù)方程的求解。(對(duì)數(shù)方程的驗(yàn)根問題)

　　5. 研究性問題：

　　近幾年高考和調(diào)研卷中出現(xiàn)學(xué)習(xí)型問題，如下列問題：f(x+T)=Tf(x)，f(-x)=af(x)+b，實(shí)際上是函數(shù)性質(zhì)的拓展，試題來源分別是函數(shù)的周期性和函數(shù)的奇偶性，常為壓軸題，命題一般從特殊入手，如f(x+T)=Tf(x)，問題1：函數(shù)f(x)=x是否滿足上述性質(zhì)?即x+T=Tx對(duì)x∈R是否成立?只需取x=0即可否定。考生在處理這類問題時(shí)，要與學(xué)過的函數(shù)性質(zhì)聯(lián)系，也可借助圖像入手。

　　6. 數(shù)學(xué)思想：

　　(1)在解決函數(shù)問題時(shí)，有時(shí)需要結(jié)合函數(shù)的圖像(不代替證明);分類討論時(shí)要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，遵循不重不漏的原則。

　　(2)函數(shù)方程思想可解決下列問題：①方程有解可通過變量分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域;②方程的根的個(gè)數(shù)可化歸為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

　　(3)恒成立問題：通過變量分離或轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的較值問題。

　　(4)通過取對(duì)數(shù)實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，化復(fù)雜的運(yùn)算為簡單的運(yùn)算;作圖時(shí)，要了解指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和線性函數(shù)增長的快慢(如方程x2=2x的解的個(gè)數(shù)問題)。

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