數(shù)學(xué)輔導(dǎo)：求函數(shù)解析式的幾種常用方法

2010-08-06 09:49:14 　來源：城市快報

　　當(dāng)前，我們已進(jìn)入高三一輪復(fù)習(xí)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)中較重要的概念之一，它貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的始終。求函數(shù)解析式是函數(shù)部分的基礎(chǔ)，在高診斷題中多以選擇、填空形式出現(xiàn)，屬中低檔題目，同學(xué)們務(wù)必要拿分。下面就向同學(xué)們介紹幾種求函數(shù)解析式的常用方法：

　　[題型一]配湊法

　　例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。

　　分析：函數(shù)的解析式y(tǒng)=f(x)是自變量x確定y值的關(guān)系式，其實質(zhì)是對應(yīng)法則f：x→y，因此解決這類問題的關(guān)鍵是弄清對“x”而言，“y”是怎樣的規(guī)律。

　　解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1

　　(■+11)

　　∴f(x)=x2-1(x1)

　　小結(jié)：此種解法為配湊法，通過觀察、分析，將右端“x+2■”變?yōu)榻邮軐ο?ldquo;■+1”的表達(dá)式，即變?yōu)楹?■+1)的表達(dá)式，這種解法對變形能力、觀察能力有一定的要求。

　　[題型二]換元法

　　例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。

　　分析：視1-cosx為一整體，應(yīng)用數(shù)學(xué)的整體化思想，換元即得。

　　解：設(shè)t=1-cosx

　　∵-1cosx1∴01-cosx2即0t2

　　∴cosx=1-t

　　∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t

　　∴f(t)=-t2+2t(0t2)

　　即f(x)=-x2+2x(0x2)

　　小結(jié)：①已知f[g(x)]是關(guān)于x的函數(shù)，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，將x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便得f(x)的解析式。

　　注意：換元后要確定新元t的取值范圍。

　�、趽Q元法就是通過引入一個或幾個新的變量來替換原來的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡，以助力實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到順利解題的目的。常見的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應(yīng)用極為廣泛。

　　[題型三]待定系數(shù)法

　　例3.設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的兩實根平方和為10，圖象過點(diǎn)(0，3)，求f(x)的解析式。

　　分析：由于f(x)是二次函數(shù)，其解析式的基本結(jié)構(gòu)已定，可用待定系數(shù)法處理。

　　解：設(shè)f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)

　　由f(x+2)=f(2-x)可知，該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱

　　∴-■=2，即b=-4a……①

　　又圖象過點(diǎn)(0，3)∴c=3……②

　　由方程f(x)=0的兩實根平方和為10，得(-■)2-■=0

　　即b2-2ac=10a2……③

　　由①②③解得a=1，b=-4，c=3

　　∴f(x)=x2-4x+3

　　小結(jié)：我們只要明確所求函數(shù)解析式的類型，便可設(shè)出其函數(shù)解析式，設(shè)法求出其系數(shù)即可得到結(jié)果。類似的已知f(x)為一次函數(shù)時，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)為反比例函數(shù)時，可設(shè)f(x)=■(k≠0)；f(x)為二次函數(shù)時，根據(jù)條件可設(shè)

　　①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

　�、陧旤c(diǎn)式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)

　�、垭p根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

　　[題型四]消元法

　　例4.已知函數(shù)y=f(x)滿足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常數(shù)，a≠±b，求函數(shù)y=f(x)的解析式。

　　分析：求函數(shù)y=f(x)的解析式，由已知條件知必須消去f(■)，不難想到再尋找一個方程，構(gòu)成方程組，消去f(■)得f(x)。如何構(gòu)成呢？充分利用x和■的倒數(shù)關(guān)系，用■去替換已知中的x便可得到另一個方程。

　　解：在已知等式中，將x換成■，得af(■)+bf(x)=■，把它與原條件式聯(lián)立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②

　�、�×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)

　　∵a≠±b∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)

　　有同學(xué)通過QQ詢問下面的數(shù)學(xué)題，我們請?zhí)旖蛩闹械拿侠栎x老師來回答。

　　問1.已知：方程：x2+ax+a+1=0的兩根滿足一個條件：一根大于k，一根小于k(k是實數(shù))，求a的取值范圍。(此題一種方法是圖象法，還有一種方法，能告訴這兩種方法嗎？)

　　答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1圖象為開口向上的拋物線，因此只需f(k)＜0即可。