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題型一 定值、定點問題
例1 已知橢圓C：+=1經過點(0，)，離心率為，直線l經過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l交y軸于點M，且=λ，=μ，當直線l的傾斜角變化時，探求λ+μ的值是否為定值?若是，求出λ+μ的值;否則，請說明理由.
破題切入點 (1)待定系數(shù)法.
(2)通過直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點A，B的橫坐標的關系式，然后根據(jù)向量關系式=λ，=μ.把λ，μ用點A，B的橫坐標表示出來，只要證明λ+μ的值與直線的斜率k無關即證明了其為定值，否則就不是定值.
解 (1)依題意得b=，e==，a2=b2+c2，
∴a=2，c=1，∴橢圓C的方程為+=1.
(2)因直線l與y軸相交于點M，故斜率存在，
又F坐標為(1,0)，設直線l方程為
y=k(x-1)，求得l與y軸交于M(0，-k)，
設l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，
∴λ=，同理μ=，
∴λ+μ=+=
所以當直線l的傾斜角變化時，直線λ+μ的值為定值-.
題型二 定直線問題
例2 在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A，B兩點.
(1)若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的較小值;
(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，請說明理由.
破題切入點 假設符合條件的直線存在，求出弦長，利用變量的系數(shù)恒為零求解.
解 方法一 (1)依題意，點N的坐標為N(0，-p)，
可設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB的方程為y=kx+p，
與x2=2py聯(lián)立得
消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由根與系數(shù)的關系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p
=p=2p2，
∴當k=0時，(S△ABN)min=2p2.
(2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
AC的中點為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H，
則O′H⊥PQ，Q′點的坐標為(，).
∵O′P=AC==，
O′H==|2a-y1-p|，
∴PH2=O′P2-O′H2
=(y+p2)-(2a-y1-p)2
=(a-)y1+a(p-a)，
∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].
令a-=0，得a=，
此時PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，
其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.
方法二 (1)前同方法一，再由弦長公式得
AB=|x1-x2|
=·
=·
=2p·，
又由點到直線的距離公式得d=.
從而S△ABN=·d·AB
=·2p··
=2p2.
∴當k=0時，(S△ABN)min=2p2.
(2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
則以AC為直徑的圓的方程為
(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，
將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，
則Δ=x-4(a-p)(a-y1)
=4[(a-)y1+a(p-a)].
設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
則有PQ=|x3-x4|=
=2.
令a-=0，得a=，
此時PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，
其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.
題型三 定圓問題
例3 已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12，圓Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點Ak.
(1)求橢圓G的方程;
(2)求△AkF1F2的面積;
(3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理由.
破題切入點 (1)根據(jù)定義，待定系數(shù)法求方程.
(2)直接求.
(3)關鍵看長軸兩端點.
解 (1)設橢圓G的方程為+=1(a>b>0)，半焦距為c，則解得
所以b2=a2-c2=36-27=9.
所以所求橢圓G的方程為+=1.
(2)點Ak的坐標為(-k,2)，
S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6.
(3)若k≥0，由62+02+12k-0-21=15+12k>0，可知點(6,0)在圓Ck外;
若k<0，由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0，可知點(-6,0)在圓Ck外.
所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.
即不存在圓Ck包圍橢圓G.
總結提高 (1)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關.在這類試題中選擇消元的方向是非常關鍵的.
(2)由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：y-y0=k(x-x0)，則直線必過定點(x0，y0);若得到了直線方程的斜截式：y=kx+m，則直線必過定點(0，m).
(3)定直線問題一般都為特殊直線x=x0或y=y0型.
1.在平面直角坐標系xOy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.
(1)求k的取值范圍;
(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與共線?如果存在，求k值;如果不存在，請說明理由.
解 (1)由已知條件，得直線l的方程為y=kx+，
代入橢圓方程得+(kx+)2=1.
整理得(+k2)x2+2kx+1=0.①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0，
解得k<-或k>.
即k的取值范圍為(-∞，-)∪(，+∞).
(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則+=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，得x1+x2=-.②
又y1+y2=k(x1+x2)+2.③
而A(，0)，B(0,1)，=(-，1).
所以+與共線等價于x1+x2=-(y1+y2)，
將②③代入上式，解得k=.
由(1)知k<-或k>，
故不存在符合題意的常數(shù)k.
2.已知雙曲線方程為x2-=1，問：是否存在過點M(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點，且M是線段PQ的中點?如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請說明理由.
解 顯然x=1不滿足條件，設l：y-1=k(x-1).
聯(lián)立y-1=k(x-1)和x2-=1，
消去y得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0，
由Δ>0，得k<，x1+x2=，
由M(1,1)為PQ的中點，得==1，
解得k=2，這與k<矛盾，
所以不存在滿足條件的直線l.
3.設橢圓E：+=1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點，O為坐標原點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥?若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍;若不存在，請說明理由.
解 (1)因為橢圓E：+=1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點，
所以解得
所以橢圓E的方程為+=1.
(2)假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥，設該圓的切線方程為y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程組得x2+2(kx+m)2=8，
即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，
則Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0，即8k2-m2+4>0.
故
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=-+m2
=.
要使⊥，需使x1x2+y1y2=0，
即+=0，
所以3m2-8k2-8=0，
所以k2=≥0.
又8k2-m2+4>0，所以所以m2≥，
即m≥或m≤-，
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=，
r2===，r=，
所求的圓為x2+y2=，
此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥或m≤-，
而當切線的斜率不存在時切線為x=±與橢圓+=1的兩個交點為(，±)或(-，±)滿足⊥，綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2=，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥.
4.(2014·重慶)如圖，設橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點D在橢圓上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面積為.
(1)求該橢圓的標準方程.
(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點?若存在，求出圓的方程;若不存在，請說明理由.
解 (1)設F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2=a2-b2.
由=2，得DF1==c，
從而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=，故c=1，
從而DF1=.
由DF1⊥F1F2，得DF=DF+F1F=，
因此DF2=.
所以2a=DF1+DF2=2，
故a=，b2=a2-c2=1.
因此，所求橢圓的標準方程為+y2=1.
(2)如圖，設圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2.
由圓和橢圓的對稱性，易知，x2=-x1，y1=y2.
由(1)知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，
所以=(x1+1，y1)，=(-x1-1，y1)，
再由F1P1⊥F2P2，得-(x1+1)2+y=0.
由橢圓方程得1-=(x1+1)2，即3x+4x1=0，
解得x1=-或x1=0.
當x1=0時，P1，P2重合，題設要求的圓不存在.
當x1=-時，過P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心C.
設C(0，y0)，
由CP1⊥F1P1，得·=-1.
而求得y1=，故y0=.
圓C的半徑CP1= =.
綜上，存在滿足題設條件的圓，
其方程為x2+(y-)2=.
5.(2014·江西)如圖，已知拋物線C：x2=4y，過點M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標原點).
(1)證明：動點D在定直線上;
(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y=2相交于點N1，與(1)中的定直線相交于點N2，證明：MN-MN為定值，并求此定值.
(1)證明 依題意可設AB方程為y=kx+2，
代入x2=4y，
得x2=4(kx+2)，即x2-4kx-8=0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2=-8.
直線AO的方程為y=x;
BD的方程為x=x2.
解得交點D的坐標為
注意到x1x2=-8及x=4y1，
則有y===-2.
因此動點D在定直線y=-2上(x≠0).
(2)解 依題設，切線l的斜率存在且不等于0，設切線l的方程為y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得x2=4(ax+b)，
即x2-4ax-4b=0.
由Δ=0得(4a)2+16b=0，化簡整理得b=-a2.
故切線l的方程可寫為y=ax-a2.
分別令y=2，y=-2得N1，N2的坐標為
N1(+a,2)，N2(-+a，-2)，
則MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8，
即MN-MN為定值8.
6.(2014·福建)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.
(1)求曲線Γ的方程.
(2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y=3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化?證明你的結論.
解 方法一 (1)設S(x，y)為曲線Γ上任意一點，
依題意，點S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等，所以曲線Γ是以點F(0,1)為焦點、直線y=-1為準線的拋物線，所以曲線Γ的方程為x2=4y.
(2)當點P在曲線Γ上運動時，線段AB的長度不變.證明如下：
由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2，
設P(x0，y0)(x0≠0)，則y0=x，
由y′=x，得切線l的斜率
k=y′|x=x0=x0，
所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0)，
即y=x0x-x.
由得A(x0,0).
由得M(x0+，3).
又N(0,3)，所以圓心C(x0+，3)，
半徑r=MN=|x0+|，
AB=
= =.
所以點P在曲線Γ上運動時，線段AB的長度不變.
方法二 (1)設S(x，y)為曲線Γ上任意一點，
則|y-(-3)|-=2，
依題意，點S(x，y)只能在直線y=-3的上方，所以y>-3，所以=y+1，
化簡，得曲線Γ的方程為x2=4y.
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