北京高一數(shù)學典型例題

　　如果想要學好高一數(shù)學，功課訓練不能少。同時同學們也可以掌握一些典型例題，以后在遇到類似的問題，也就可以迎刃而解了。下面智康1對1高考頻道小編為大家整理了一些北京高一數(shù)學典型例題，希望可以幫助同學們學習數(shù)學。

　　北京高一數(shù)學典型例題：等比數(shù)列

　　【例1】已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么數(shù)列{an}．

　　A．是等比數(shù)列

　　B．當p≠0時是等比數(shù)列

　　C．當p≠0，p≠1時是等比數(shù)列

　　D．不是等比數(shù)列

　　分析由Sn＝pn(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且當n≥2時，

　　an=Sn－Sn-1＝pnpn-1＝(p－1)pn-1

　　但滿足此條件的實數(shù)p是不存在的，故本題應選D．

　　說明數(shù)列{an}成等比數(shù)列的必要條件是an≠0(n∈N*)，還要注

　　【例2】已知等比數(shù)列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

　　解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比數(shù)列，公比q

　　∴2＝1·q2n+1

　　x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

　　式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

　　∴a4＝2

　　【例3】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之間插入n個正數(shù)x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比數(shù)列，求

　　證明設這n＋2個數(shù)所成數(shù)列的公比為q，則b=aqn+1

　　【例4】設a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．

　　證法一∵a、b、c、d成等比數(shù)列

　　∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc

　　∴左邊=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2

　　=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)

　　＝a2－2ad＋d2

　�。�(a－d)2＝右邊

　　證畢．

　　證法二∵a、b、c、d成等比數(shù)列，設其公比為q，則：

　　b＝aq，c＝aq2，d=aq3

　　∴左邊＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2

　�。絘2－2a2q3＋a2q6

　　=(a－aq3)2

　�。�(a－d)2=右邊

　　證畢．

　　說明這是一個等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目．證法一是抓住了求證式中右邊沒有b、c的特點，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子．證法二則是把a、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的．證法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性．

　　【例5】求數(shù)列的通項公式：

　　(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

　　(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

　　思路：轉化為等比數(shù)列．

　　∴{an＋1}是等比數(shù)列

　　∴an＋1=3·3n-1∴an=3n－1

　　∴{an+1－an}是等比數(shù)列，即

　　an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1

　　再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，這些等式相加，即可以得到

　　說明解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)一個等比數(shù)列，即化生疏為已知．(1)中發(fā)現(xiàn){an＋1}是等比數(shù)列，(2)中發(fā)現(xiàn){an+1－an}是等比數(shù)列，這也是通常說的化歸思想的一種體現(xiàn)．

　　證∵a1、a2、a3、a4均為不為零的實數(shù)

　　∴上述方程的判別式Δ≥0，即

　　又∵a1、a2、a3為實數(shù)

　　因而a1、a2、a3成等比數(shù)列

　　∴a4即為等比數(shù)列a1、a2、a3的公比．

　　【例6】若a、b、c成等差數(shù)列，且a＋1、b、c與a、b、c＋2都成等比數(shù)列，求b的值．

　　解設a、b、c分別為b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d與b－d、b、b＋d＋2都成等比數(shù)列，有

　　整理，得

　　∴b＋d=2b－2d即b=3d

　　代入①，得

　　9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)

　　9d2=(2d＋1)·4d

　　解之，得d=4或d=0(舍)

　　∴b=12

　　【例7】已知等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：

　　(1)求a1與d的值；

　　(2)b16是不是{an}中的項？

　　思路：運用通項公式列方程

　　(2)∵b16=b1·d15=－32b1

　　∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k項，則

　�。�32a1=a1＋(k－1)d

　　∴(k－1)d=－33a1=33d

　　∴k=34即b16是{an}中的第34項．

　　解設等差數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1＋(n－1)d

　　解這個方程組，得

　　∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2

　　∴當a1=－1，d=2時，an=a1＋(n－1)d=2n－3

　　當a1=3，d=2時，an=a1＋(n－1)d=5－2n

　　【例8】三個數(shù)成等比數(shù)列，若第二個數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個等差數(shù)列的第3項加32又成等比數(shù)列，求這三個數(shù)．

　　解法一按等比數(shù)列設三個數(shù)，設原數(shù)列為a，aq，aq2

　　由已知：a，aq＋4，aq2成等差數(shù)列

　　即：2(aq＋4)=a＋aq2

　　a，aq＋4，aq2＋32成等比數(shù)列

　　即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)

　　解法二按等差數(shù)列設三個數(shù)，設原數(shù)列為b－d，b－4，b＋d

　　由已知：三個數(shù)成等比數(shù)列

　　即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)

　　b－d，b，b＋d＋32成等比數(shù)列

　　即b2=(b－d)(b＋d＋32)

　　解法三任意設三個未知數(shù)，設原數(shù)列為a1，a2，a3

　　由已知：a1，a2，a3成等比數(shù)列

　　a1，a2＋4，a3成等差數(shù)列

　　得：2(a2＋4)=a1＋a3

　　a1，a2＋4，a3＋32成等比數(shù)列

　　得：(a2＋4)2=a1(a3＋32)

　　說明將三個成等差數(shù)列的數(shù)設為a－d，a，a＋d；將三個成

　　簡化過程的作用．

　　【例9】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且先進個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)．

　　分析本題有三種設未知數(shù)的方法

　　方法一設前三個數(shù)為a－d，a，a＋d，則第四個數(shù)由已知條

　　方法二設后三個數(shù)為b，bq，bq2，則先進個數(shù)由已知條件推得為2b－bq．

　　方法三設先進個數(shù)與第二個數(shù)分別為x，y，則第三、第四個數(shù)依次為12－y，16－x．

　　由這三種設法可利用余下的條件列方程組解出相關的未知數(shù)，從而解出所求的四個數(shù)，

　　所求四個數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1．

　　解法二設后三個數(shù)為：b，bq，bq2，則先進個數(shù)為：2b－bq

　　所求四個數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1．

　　解法三設四個數(shù)依次為x，y，12－y，16－x．

　　這四個數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1．

　　【例10】已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為126；另外三個數(shù)成等比數(shù)列，把兩個數(shù)列的對應項依次相加，分別得到85，76，84．求這兩個數(shù)列．

　　解設成等差數(shù)列的三個數(shù)為b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126

　　∴b=42

　　這三個數(shù)可寫成42－d，42，42＋d．

　　再設另三個數(shù)為a，aq，aq2．由題設，得

　　解這個方程組，得

　　a1=17或a2=68

　　當a=17時，q=2，d=－26

　　從而得到：成等比數(shù)列的三個數(shù)為17，34，68，此時成等差的三個數(shù)為68，42，16；或者成等比的三個數(shù)為68，34，17，此時成等差的三個數(shù)為17，42，67．

　　【例11】已知在數(shù)列{an}中，a1、a2、a3成等差數(shù)列，a2、a3、a4成等比數(shù)列，a3、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列．

　　證明由已知，有

　　2a2=a1＋a3

　　即a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)

　　所以a1、a3、a5成等比數(shù)列．

　　【例12】已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．

　　(1)設a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x，y，z成等比數(shù)列．

　　(2)設正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差數(shù)列．

　　證明(1)∵a，b，c成等差數(shù)列，且公差d≠0

　　∴b－c=a－b=－d，c－a=2d

　　代入已知條件，得：－d(logmx－2logmy＋logmz)=0

　　∴logmx＋logmz=2logmy

　　∴y2=xz

　　∵x，y，z均為正數(shù)

　　∴x，y，z成等比數(shù)列

　　(2)∵x，y，z成等比數(shù)列且公比q≠1

　　∴y=xq，z=xq2代入已知條件得：

　　(b－c)logmx＋(c－a)logmxq＋(a－b)logmxq2=0

　　變形、整理得：(c＋a－2b)logmq=0

　　∵q≠1∴logmq≠0

　　∴c＋a－2b=0即2b=a＋c

　　即a，b，c成等差數(shù)列

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