2016年高考數(shù)學(xué)練習(xí)題（二）

2016-05-24 15:14:40 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

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　　一、選擇題

　　1。若點P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則()

　　A。過點P有且僅有一條直線與l，m都平行

　　B。過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直

　　C。過點P有且僅有一條直線與l，m都相交

　　D。過點P有且僅有一條直線與l，m都異面

　　答案：B命題立意：本題考查異面直線的幾何性質(zhì)，難度較小。

　　解題思路：因為點P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直，故選B。

　　2。如圖，P是正方形ABCD外一點，且PA平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()

　　A。平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直

　　B。它們兩兩垂直

　　C。平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直

　　D。平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直

　　答案：A解題思路：DA⊥AB，DAPA，AB∩PA=A，

　　DA⊥平面PAB，又DA平面PAD，平面PAD平面PAB。同理可證平面PAB平面PBC。把四棱錐P-ABCD放在長方體中，并把平面PBC補全為平面PBCD1，把平面PAD補全為平面PADD1，易知CD1D即為兩個平面所成二面角的平面角，CD1D=APB，

　　CD1D<90°，故平面PAD與平面PBC不垂直。

　　3。設(shè)α，β分別為兩個不同的平面，直線lα，則“lβ”是“αβ”成立的()

　　A。充分不必要條件

　　B。必要不充分條件

　　C。充要條件

　　D。既不充分也不必要條件

　　答案：A命題立意：本題主要考查空間線面、面面位置關(guān)系的判定與充分必要條件的判斷，意在考查考生的邏輯推理能力。

　　解題思路：依題意，由lβ，lα可以推出αβ；反過來，由αβ，lα不能推出lβ。因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要條件，故選A。

　　4。若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是()

　　A。若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線

　　B。若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線

　　C。已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若mα，則nβ

　　D。m，n在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則m，n互相垂直

　　答案：B解題思路：本題考查了空間中線面的平行及垂直關(guān)系。在A中：因為平行于同一平面的兩直線可以平行，相交，異面，故A為假命題；在B中：因為垂直于同一平面的兩直線平行，故B為真命題；在C中：n可以平行于β，也可以在β內(nèi)，也可以與β相交，故C為假命題；在D中：m，n也可以不互相垂直，故D為假命題。故選B。

　　5。如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動，另一端點N在正方形ABCD內(nèi)運動，則MN的中點的軌跡的面積為()

　　A。4πB。2π

　　C。πD。-π

　　答案：D解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關(guān)系。如圖可知，端點N在正方形ABCD內(nèi)運動，連接ND，由ND，DM，MN構(gòu)成一個直角三角形，設(shè)P為NM的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得，不論MDN如何變化，點P到點D的距離始終等于1。故點P的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的球面，其面積為。

　　技巧點撥：探求以空間圖形為背景的軌跡問題，要善于把立體幾何問題轉(zhuǎn)化到平面上，再聯(lián)合運用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識去求解，實現(xiàn)立體幾何到解析幾何的過渡。

　　6。如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：

　　直線BE與直線CF是異面直線；直線BE與直線AF是異面直線；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD。

　　其中正確結(jié)論的序號是()

　　A。1B。1

　　C。3D。4

　　答案：B解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關(guān)系。畫出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，直線BE與直線CF是異面直線，不正確，因為E，F(xiàn)分別是PA與PD的中點，可知EFAD，所以EFBC，直線BE與直線CF是共面直線；直線BE與直線AF是異面直線，滿足異面直線的定義，正確；直線EF平面PBC，由E，F(xiàn)是PA與PD的中點，可知EFAD，所以EFBC，因為EF平面PBC，BC平面PBC，所以判斷是正確的；由題中條件不能判定平面BCE平面PAD，故不正確。故選B。

　　技巧點撥：翻折問題常見的是把三角形、四邊形等平面圖形翻折起來，然后考查立體幾何的常見問題：垂直、角度、距離、應(yīng)用等問題。此類問題考查孩子從二維到三維的升維能力，考查孩子空間想象能力。解決該問題時，不僅要知道空間立體幾何的有關(guān)概念，還要注意到在翻折的過程中哪些量是不變的，哪些量是變化的。

　　二、填空題

　　7。如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，則異面直線BC與AE所成角的大小為________。

　　答案：45°解題思路：因為BCAD，所以EAD就是異面直線BC與AE所成的角。

　　因為平面ABCD平面CEFB，且ECCB，

　　所以EC平面ABCD。

　　在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==。

　　在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sinEAD===。

　　又因為EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°。

　　故異面直線BC與AE所成的角為45°。

　　8。給出命題：

　　異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線；

　　兩異面直線a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α；

　　兩異面直線a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α；

　　兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線。

　　上述命題中，真命題的序號是________。

　　答案：解題思路：本題考查了空間幾何體中的點、線、面之間的關(guān)系。根據(jù)異面直線的定義知：異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線，故命題為真命題；兩條異面直線可以平行于同一個平面，故命題為假命題；若bα，則ab，即a，b共面，這與a，b為異面直線矛盾，故命題為真命題；兩條異面直線在同一個平面內(nèi)的射影可以是：兩條平行直線、兩條相交直線、一點一直線，故命題為假命題。

　　9。如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。已知一個正六棱錐的各個頂點都在半徑為3的球面上，則該正六棱錐的體積的較大值為________。

　　答案：16命題立意：本題以球的內(nèi)接組合體問題引出，綜合考查了棱錐體積公式、利用導(dǎo)數(shù)工具處理函數(shù)較值的方法，同時也有效地考查了考生的運算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力。

　　解題思路：設(shè)球心到底面的距離為x，則底面邊長為，高為x+3，正六棱錐的體積V=×(9-x2)×6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，則V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16。

　　10。已知三棱錐P-ABC的各頂點均在一個半徑為R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，則三棱錐與球的體積之比為________。

　　答案：命題立意：本題主要考查線面垂直、三棱錐與球的體積方法，意在考查考生的空間想象能力與基本運算能力。

　　解題思路：依題意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=PO·SABC=×R××R×R=R3。而球的體積V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=。

　　三、解答題

　　11。如圖，四邊形ABCD與A′ABB′都是正方形，點E是A′A的中點，A′A平面ABCD。

　　(1)求證：A′C平面BDE；

　　(2)求證：平面A′AC平面BDE。

　　解題探究：先進(jìn)問通過三角形的中位線證明出線線平行，從而證明出線面平行；第二問由A′A與平面ABCD垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明出BD與平面A′AC垂直，從而得到平面與平面垂直。

　　解析：(1)設(shè)AC交BD于M，連接ME。

　　四邊形ABCD是正方形，

　　M為AC的中點。

　　又E為A′A的中點，

　　ME為A′AC的中位線，

　　ME∥A′C。

　　又ME？平面BDE，

　　A′C？平面BDE，

　　A′C∥平面BDE。

　　(2)∵四邊形ABCD為正方形，BD⊥AC

　　∵A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

　　A′A⊥BD。

　　又AC∩A′A=A，BD⊥平面A′AC。

　　BD？平面BDE，

　　平面A′AC平面BDE。

　　12。如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC。

　　(1)求證：D1CAC1；

　　(2)設(shè)E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說明理由。

　　命題立意：本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定，考查考生的空間想象能力和推理論證能力。通過已知條件中的線線垂直關(guān)系和線面垂直的判定證明線面垂直，從而證明線線的垂直關(guān)系。并通過線段的長度關(guān)系，借助題目中線段的中點和三角形的中位線尋找出線線平行，證明出線面的平行關(guān)系。解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會作圖、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造。

　　解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接C1D，DC=DD1，

　　四邊形DCC1D1是正方形，

　　DC1⊥D1C。

　　又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，

　　AD⊥平面DCC1D1，

　　又D1C平面DCC1D1，

　　AD⊥D1C。

　　∵AD？平面ADC1，DC1平面ADC1，

　　且AD∩DC1=D，

　　D1C⊥平面ADC1，

　　又AC1平面ADC1，

　　D1C⊥AC1。