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北京高一數學射影定理

2016-07-11 11:34:21  來源:網絡整理

  高一數學是高中數學的開端,也是同學們打基礎的階段,很多定理概念都是高考的重要考點。射影定理是高中數學中比較重要的定理,同學們應該熟練掌握,并且懂得如何運用。為了幫助同學們學好高一數學,愛智康高考頻道小編為同學們整理了北京高一數學射影定理,希望給同學們帶來一定的幫助。

北京高一數學射影


  北京高一數學射影定理


  射影定理(right triangle altitude theorem)是指在直角三角形中,斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項,直角邊是這條直角邊在斜邊的射影和斜邊的比例中項。直角三角形射影定理,又稱“歐幾里德定理”,定理內容是:直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項,每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

 


  公式: 如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的高,則有射影定理如下:


  (1)(BD)2=AD·DC, (2)(AB)2=AD·AC , (3)(BC)2=CD·CA。


  等積式 (4)AB×BC=AC×BD(可用“面積法”或相似來證明) (5)(AB)2/(BC)2=AD/CD


  直角三角形射影定理的證明:(主要是從三角形的相似比推算來的)


  在△BAD與△BCD中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90°,


  射影定理簡圖(幾何畫板)∴∠ABD=∠C,


  又∵∠BDA=∠BDC=90°


  ∴△BAD∽△CBD


  ∴ AD/BD=BD/CD


  即BD2=AD·DC。其余同理可得可證


  有射影定理如下:


  AB2=AD·AC,BC2=CD·CA


  兩式相加得:


  AB2+BC2=(AD·AC)+(CD·AC) =(AD+CD)·AC=AC2 。


  用勾股證射影


  ∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,


  ∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.


  故AD2=BD×CD.


  運用此結論可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,


  AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.


  綜上所述得到射影定理。同樣也可以利用三角形面積知識進行證明。


  北京高一數學射影定理就為同學們分享到這里了,如果大家還有什么問題的話,請直接撥打免費咨詢電話:4000-121-121!有專業(yè)的老師為您解答!

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