2017高考數(shù)學(xué)核心考點：球的截面概念和性質(zhì)

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   【教學(xué)目的】

　　1、理解球面、球體的概念。2、掌握球的截面的性質(zhì)。

　　3、掌握球面距離的概念。

　　【教學(xué)重點】球的截面的性質(zhì)及應(yīng)用。

　　【教學(xué)難點】球面距離的概念。

　　【德育目標(biāo)】事物是相互聯(lián)系的（平面與立體空間之間的內(nèi)在聯(lián)系）

　　【教學(xué)過程】

　　一、引入

　　我們玩過的籃球、排球、足球等等都給我們以球體的形象。今天，我們就從幾何的角度來研究"球的概念和性質(zhì)"。

　　二新授

　　1、球的概念：球也可以由一個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到嗎？我們來看一個實驗。（用多媒體演示）教師小結(jié)并板書。半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球面。球面所圍成的幾何體叫球體，簡稱球。孩子看圖指出球心、半徑、直徑，一一在圖上標(biāo)出。值得注意的是：

　　1）球面與球體是兩個不同的概念，我們要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系。

　　2）球面的概念可以用集合的觀點來描述。球面是由點組成的，球面上的點有什么共同的特點呢？孩子回答，教師小結(jié)并板書球面的集合（軌跡）定義。與定點的距離等于定長的所有點的集合（軌跡）叫球面。如果點到球心的距離小于球的半徑，這樣的點在球的內(nèi)部、外部？

　　3）球的表示：用表示球心的字母表示球，比如，球O。

　　2、球的截面的性質(zhì)：用一個平面去截球，得到一個截面，截面是什么形狀呢？截面是圓面（用模型演示并加以口頭說明）。如果用平面截球面，那么截得的是圓。我們用平面截球面，把過球心的截面圓叫大圓，不過球心的截面圓叫小圓。

　　球的截面有什么性質(zhì)呢？連接球心與截面圓心，連線OO1與截面圓O1會有什么關(guān)系呢？

　　孩子猜出結(jié)論后，教師引導(dǎo)分析原因。得出性質(zhì)1性質(zhì)2。

　　1）球心與截面圓心的連線垂直于截面。作圖并討論垂直的理由。

　　2）設(shè)球心到截面的距離為d，截面圓的半徑為r，球的半徑為R，則：r=

　　3、訓(xùn)練一：

　　1）判斷正誤：（對的打√，錯的打×）

　�。�1）半圓以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球。（）

　　（2）到定點的距離等于定長的所有點的集合叫球。（）

　�。�3）球的小圓的圓心與球心的連線垂直于這個小圓所在平面。（）

　�。�4）經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個大圓。（）

　�。�5）球的半徑是5，截面圓的半徑為3，則球心到截面圓所在平面的距離為4。（）

　　2）在球的性質(zhì)中，若將"球"改為"圓"，將"截面"改為"弦"，你能將球的上述性質(zhì)變?yōu)槠矫鎺缀沃袌A的類似性質(zhì)嗎？

　　4、關(guān)于地球的幾個概念：地球可以近似的看作一個球體，為了描述地球上某地的地理位置，我們在地球上規(guī)定了經(jīng)線、緯線、南極、北極等概念。從數(shù)學(xué)的角度，同學(xué)們知道經(jīng)度、緯度的具體含義嗎？演示經(jīng)度、緯度所指的角。

　　5、球面距離：假如我們要坐飛機從長沙到巴西去踢足球，選擇怎樣的航線航程較短呢？大家知道，平面上兩點之間線段較短，而我們又不能從長沙向巴西挖一隧道，但理論上肯定存在一個較短距離。這就是我們下面要講的球面距離。

　　我們把球面上過兩點的大圓，在這兩點之間的劣弧的長叫球面上兩點間的球面距離。因此，飛機、輪船都盡可能以大圓弧為航線航行。

　　例1我國首都北京靠近北緯40度。（1）求北緯40°緯線圈的半徑約為多少千米。（2）求北緯40度緯線的長度約為多少千米（地球半徑約為6370千米）。

　　電腦作圖，分析，顯示解答過程。

　　訓(xùn)練二：

　　1）填空

　�。�1）設(shè)球的半徑為R，則過球面上任意兩點的截面圓中，較

　　大面積是。

　　（2）過球的半徑的中點，作一個垂直于這條半徑的截面，則

　　這截面圓的半徑是球半徑的。

　�。�3）在半徑為R的球面上有A、B兩點，半徑OA、OB的夾角

　　是n°（n＜180＝求A、B兩點的球面距離。

　　2）思功課：地球半徑為R，A、B是北緯45°緯線圈上兩點，它們的經(jīng)度差是90°，求A、B兩地的球面距離。

　　三小結(jié)：

　　a)半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體。

　　b)以過球心的平面截球面，截面圓叫大圓。以不經(jīng)過球心的平面截球面，截面圓叫小圓。

　　c)球心和截面圓心的連線垂直于截面，由勾股定理，有：

　　d)把地球看作一個球時，經(jīng)線就是球面上從北極到南極的半個大圓。赤道是一個大圓，其余的緯線都是小圓。

　　e)球面距離是球面上過兩點的大圓在這兩點之間的劣弧的長度。

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