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余數(shù)、同余與周期
一、同余的定義:
、偃魞蓚(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同,則稱a、b對(duì)于模m同余。
、谝阎齻(gè)整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對(duì)于模m同余,記作a≡b(mod m),讀作a同余于b模m。
二、同余的性質(zhì):
、僮陨硇裕篴≡a(mod m);
②對(duì)稱性:若a≡b(mod m),則b≡a(mod m);
、蹅鬟f性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡ c(mod m);
④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);
、菹喑诵裕喝鬭≡ b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡ b×d(mod m);
、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m),則an≡bn(mod m);
、咄缎裕喝鬭≡ b(mod m),整數(shù)c,則a×c≡ b×c(mod m×c);
三、關(guān)于乘方的準(zhǔn)備知識(shí):
、偃鬉=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b
、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余數(shù)特征:
、僖粋(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡n(mod 9)或(mod 3);
、谝粋(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和,Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、費(fèi)爾馬小定理:如果p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù)),a是自然數(shù),且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。
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