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第四部分(知識點17-21)
17、數(shù)的整除
一、基本概念和符號:
1、整除:如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù),那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。
2、常用符號:整除符號“|”,不能整除符號“”;因為符號“∵”,所以的符號“∴”;
二、整除判斷方法:
1. 能被2、5整除:末位上的數(shù)字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除:末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。
3. 能被8、125整除:末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。
4. 能被3、9整除:各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除:
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。
②逐次去掉較后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除:
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。
②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。
③逐次去掉較后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。
7. 能被13整除:
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。
②逐次去掉較后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。
三、整除的性質(zhì):
1. 如果a、b能被c整除,那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除,c是整數(shù),那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的較小公倍數(shù)整除。
18、余數(shù)及其應用
基本概念:
對任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù),q叫做a除以b的不完全商。
余數(shù)的性質(zhì):
①余數(shù)小于除數(shù)。
②若a、b除以c的余數(shù)相同,則c|a-b或c|b-a。
③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。
④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。
19、余數(shù)、同余與周期
一、同余的定義:
①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同,則稱a、b對于模m同余。
②已知三個整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余,記作a≡b(mod m),讀作a同余于b模m。
二、同余的性質(zhì):
①自身性:a≡a(mod m);
②對稱性:若a≡b(mod m),則b≡a(mod m);
③傳遞性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡c(mod m);
④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡b×d(mod m);
⑥乘方性:若a≡b(mod m),則an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡b(mod m),整數(shù)c,則a×c≡b×c(mod m×c);
三、關(guān)于乘方的準備知識:
①若A=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余數(shù)特征:
①一個自然數(shù)M,n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一個自然數(shù)M,X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和,Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、費爾馬小定理:如果p是質(zhì)數(shù)(素數(shù)),a是自然數(shù),且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。
20、分數(shù)與百分數(shù)的應用
基本概念與性質(zhì):
分數(shù):把單位“1”平均分成幾份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)。
分數(shù)的性質(zhì):分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外),分數(shù)的大小不變。
分數(shù)單位:把單位“1”平均分成幾份,表示這樣一份的數(shù)。
百分數(shù):表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。
常用方法:
①逆向思維方法:從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進行思考。
②對應思維方法:找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關(guān)系。
③轉(zhuǎn)化思維方法:把一類應用題轉(zhuǎn)化成另一類應用題進行解答。較常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標準(在分數(shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。
④假設(shè)思維方法:為了解題的方便,可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立,出相應的結(jié)果,然后再進行調(diào)整,求出較后結(jié)果。
⑤量不變思維方法:在變化的各個量當中,總有一個量是不變的,不論其他量如何變化,而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況:A、分量發(fā)生變化,總量不變。B、總量發(fā)生變化,但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化,但分量之間的差量不變化。
⑥替換思維方法:用一種量代替另一種量,從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。
⑦同倍率法:總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。
⑧濃度配比法:一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。
21、分數(shù)大小的比較
基本方法:
①通分分子法:使所有分數(shù)的分子相同,根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關(guān)系比較。
②通分分母法:使所有分數(shù)的分母相同,根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關(guān)系比較。
③基準數(shù)法:確定一個標準,使所有的分數(shù)都和它進行比較。
④分子和分母大小比較法:當分子和分母的差一定時,分子或分母越大的分數(shù)值越大。
⑤倍率比較法:當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小,除了運用以上方法外,可以用同倍率的變化關(guān)系比較分數(shù)的大小。(具體運用見同倍率變化規(guī)律)
⑥轉(zhuǎn)化比較方法:把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分數(shù)的值)后進行比較。
⑦倍數(shù)比較法:用一個數(shù)除以另一個數(shù),結(jié)果得數(shù)和1進行比較。
⑧大小比較法:用一個分數(shù)減去另一個分數(shù),得出的數(shù)和0比較。
⑨倒數(shù)比較法:利用倒數(shù)比較大小,然后確定原數(shù)的大小。
⑩基準數(shù)比較法:確定一個基準數(shù),每一個數(shù)與基準數(shù)比較。
小一至小五年級期末試題答案