向量公式

2018-07-22 16:16:42 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　向量公式！在數(shù)學(xué)中，向量(也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向;線段長度：代表向量的大小。下面為大家分享向量公式!希望能幫到大家！

設(shè)a=(x,y),b=(x',y').

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x',y+y').

a+0=0+a=a.

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a;

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn),指向被減”

a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

4、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

當(dāng)λ>0時(shí),λa與a同方向;

當(dāng)λ<0時(shí),λa與a反方向;

當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,方向任意.

當(dāng)a=0時(shí),對于任意實(shí)數(shù)λ,都有λa=0.

注：按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.

當(dāng)∣λ∣>1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

當(dāng)∣λ∣<1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍.

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量對于數(shù)的分配律(先進(jìn)分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

3、向量的的數(shù)量積

定義：兩個(gè)非零向量的夾角記為〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量,記作a·b.若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'.

向量的數(shù)量積的運(yùn)算率

a·b=b·a(交換率);

(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

4、向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0.

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.

a×a=0.

a∥b〈=〉a×b=0.

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

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