橢圓面積公式

2018-07-24 15:27:50 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　橢圓面積公式！橢圓(Ellipse)是平面內(nèi)到定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，F(xiàn)1、F2稱(chēng)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。其數(shù)學(xué)表達(dá)為：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)。下面為大家分享橢圓面積公式！

　　橢圓面積公式

S=π(圓周率)×a×b

(其中a,b分別是橢圓的半長(zhǎng)軸,半短軸的長(zhǎng)).或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸，短軸的長(zhǎng)).

定理內(nèi)容

如果一條固定直線被甲乙兩個(gè)封閉圖形所截得的線段比都為k，那么甲面積是乙面積的k倍。那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面積為π * a^2 * b/a=πab因?yàn)閮奢S焦點(diǎn)在0點(diǎn)，所以橢圓的面積可以分為4個(gè)相等的部分，分別是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四個(gè)區(qū)域，所以只要求出一個(gè)象限間所夾的面積，然后再乘以4就可以得到整個(gè)橢圓的面積。揀較簡(jiǎn)單的來(lái)吧，先求先進(jìn)象限所夾部分的面積。根據(jù)定積分的定義及圖形的性質(zhì)，我們可以把這部分圖形無(wú)限分為底邊在x軸上的小矩形，整個(gè)圖形的面積就等于這些小矩形面積和的極限�，F(xiàn)在應(yīng)用元素法，在圖形中任找取一點(diǎn)，然后再取距這點(diǎn)距離無(wú)限近的另一個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離記做dx，然后取以dx為底邊，兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的y為高，與曲線相交夠成的封閉的小矩形的面積s，顯然，s=y*dx 現(xiàn)在求s的定積分，即大圖形的面積S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y關(guān)于x的定積分步驟：(先進(jìn)象限全取正，后面不做說(shuō)明) S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 設(shè) x^2/a^2=sin^2t 則 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圓周率 ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 這里需要用到一個(gè)公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 證明如下 sinx=cos(pi/2-x) 設(shè)u=pi/2-x 則 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 則∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 則S=a*b*(pi/4) 橢圓面積S_c=a*b*pi 可見(jiàn)橢圓面積與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以無(wú)論橢圓位于坐標(biāo)系的哪個(gè)位置，其面積都等于半長(zhǎng)軸長(zhǎng)乘以半短軸長(zhǎng)乘以圓周率

導(dǎo)數(shù)方法

設(shè)橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1取先進(jìn)象限內(nèi)面積有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2即 y=√(b^2-b^2/a^2*x^2)=b/a*√(a^2-x^2)由于該式反導(dǎo)數(shù)為所求面積，觀察到原式為圓方程公式*a/b，根據(jù)(af(x))'=a*f'(x),且x=a時(shí)圓面積為a^2π/4可得當(dāng)x=a時(shí)，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4即S=abπ。此方法比較容易理解。

陰影面積

眾所周知，斜切圓柱所得截面即為橢圓，這在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線一章有闡述，下面就用陰影面積法巧妙求解橢圓面積。圓形面積與橢圓面積之比為cosθ，則cosθ=πR^2/S=2R/2a，橢圓短軸b即為圓柱底面半徑R,即R=b，所以S=πR^2*a/R=πaR=πab

周長(zhǎng)公式

橢圓周長(zhǎng)沒(méi)有公式，有積分式或無(wú)限項(xiàng)展開(kāi)式。橢圓周長(zhǎng)(L)的準(zhǔn)確要用到積分或無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和。如L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長(zhǎng)], 其中a為橢圓長(zhǎng)半軸，e為離心率橢圓離心率的定義為橢圓上的點(diǎn)到某焦點(diǎn)的距離和該點(diǎn)到該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比，設(shè)橢圓上點(diǎn)P到某焦點(diǎn)距離為PF，到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL，則e=PF/PL橢圓的準(zhǔn)線方程x=±a^2/C橢圓的離心率公式e=c/a(e<1,因?yàn)?a>2c)橢圓的焦準(zhǔn)距：橢圓的焦點(diǎn)與其相應(yīng)準(zhǔn)線(如焦點(diǎn)(c,0)與準(zhǔn)線x=+a^2/C)的距離，數(shù)值=b^2/c橢圓焦半徑公式 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0橢圓過(guò)右焦點(diǎn)的半徑r=a-ex過(guò)左焦點(diǎn)的半徑r=a+ex橢圓的通徑：過(guò)焦點(diǎn)的垂直于x軸(或y軸)的直線與橢圓的兩交點(diǎn)A,B之間的距離，數(shù)值=2b^2/a點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0) 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1點(diǎn)在圓內(nèi)： x0^2/a^2+y0^2/b^2<1點(diǎn)在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1點(diǎn)在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2>1直線與橢圓位置關(guān)系y=kx+m ①x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1相切△=0相離△<0無(wú)交點(diǎn)相交△>0 可利用弦長(zhǎng)公式：A(x1,y1) B(x2,y2)|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2橢圓通徑(定義：圓錐曲線(除圓外)中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦)公式：2b^2/a橢圓的斜率公式　過(guò)橢圓上x(chóng)^2/a^2+y^2/b^2=1上一點(diǎn)(x，y)的切線斜率為 -(b^2)X/(a^2)y橢圓上的點(diǎn)(x，y)與兩焦點(diǎn)圍成的三角形面積 S=b^2*tan(α/2) α為點(diǎn)(x，y)與兩焦點(diǎn)連線的夾角

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