等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)

2018-07-27 17:19:16 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)！等差數(shù)列的高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，不少同學(xué)們表示等差數(shù)列很難。等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列！愛智康小編今天就為大家等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)！希望可以幫助大家。

　　等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)

　　方法是倒序相加

　　Sn=1+2+3+……+(n-1)+n

　　Sn=n+(n-1)+(n-2)+……+2+1

　　兩式相加

　　2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+……+(n-1+2)+(n+1)=(n+1)+(n+1)+(n+1)+……+(n+1)+(n+1)

　　一共n項(xiàng)(n+1)

　　2Sn=n(n+1)

　　Sn=n(n+1)/2

　　等差中項(xiàng)：

　　等差中項(xiàng)即等差數(shù)列頭尾兩項(xiàng)的和的一半，但求等差中項(xiàng)不一定要知道頭尾兩項(xiàng)。等差數(shù)列中，等差中項(xiàng)一般設(shè)為A(r)。當(dāng)A(m),A(r),A(n)成等差數(shù)列時(shí)，A(m)+A(n)=2×A(r)，所以A(r)為A(m)、A(n)的等差中項(xiàng)，且為數(shù)列的平均數(shù)。并且可以推知n+m=2×r，且任意兩項(xiàng)a(m)、a(n)的關(guān)系為：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(類似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相當(dāng)容易證明，它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。

　　等差數(shù)列的應(yīng)用日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級(jí)別時(shí)，當(dāng)其中的較大尺寸與較小尺寸相差不大時(shí)，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級(jí)。若為等差數(shù)列，且有a(n)=m,a(m)=n。則a(m+n)=0。

　　其實(shí)，中國(guó)古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經(jīng)》提到等差數(shù)列了：今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問共織幾何?書中的解法是：并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。這相當(dāng)于給出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。

　　等差數(shù)列的判定：

　　(1)a(n+1)--a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數(shù)]等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。

　　(2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。

　　(3)a(n)=kn+b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。

　　(4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數(shù)，A不為0，n ∈N* ]等價(jià)于{a(n)}為等差數(shù)列。

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