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重心的性質及證明
重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。2019北京中考數學答案重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。重心到三角形3個頂點距離平方的和較小。(等邊三角形)重心是三角形內到三邊距離之積較大的點。
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
證明：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交于G。
求證：EG=1/2CG
證明：過E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
證明方法：
在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，2019北京中考數學答案AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知：
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
過O，A分別作a邊上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可證S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB
3、三角形內到三邊距離之積較大的點。
證明：點P是△ABC內的一點，連接PA，PB，PC，作點P到BC、AC、AB的垂線段，垂足分別為D、E、F，延長AP交BC于M。記△ABC的面積為S，BC為a，AC為b，AB為c，PD為a'，PE為b'，PF為c'。
∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S
∴aa'+bb'+cc'=2S
由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，當且僅當aa'=bb'=cc'時等號成立。
∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，當且僅當aa'=bb'=cc'時等號成立。
∴a'b'c'只有當aa'=bb'=cc'時才會取得較大值。
此時，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。
∴此時BM=CM，M是BC的中點，AM是△ABC的中線，P在△ABC中BC邊的中線上。
同理可證此時P在△ABC中AB、2019北京中考數學答案AC邊的中線上。
∴當a'b'c'較大時，P是△ABC的重心，即重心是三角形內到三邊距離之積較大的點。
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