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北京市數(shù)學(xué)分班考試卷從政策上來說,不允許初中有實(shí)驗(yàn)班,所以這種分班的具體信息學(xué)校不會(huì)公布,但從家長(zhǎng)間相互認(rèn)識(shí)的牛娃最終分布上來看,一般都能看出些端倪,無論是平行分班還是設(shè)定實(shí)驗(yàn)班。下面,小編為大家?guī)?strong>北京市數(shù)學(xué)分班考試卷
北京市數(shù)學(xué)分班考試卷
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幾何篇
(1)平行四邊形:(實(shí)用度: ★ ★ )
兩邊長(zhǎng)為a和b,兩對(duì)角線長(zhǎng)為m和n,則有
可以拿這個(gè)公式和托勒密定理對(duì)比記憶。
(2)三角形:
A.勾股數(shù):(實(shí)用度: ★ ★ )
常見的最簡(jiǎn)勾股數(shù)有:
3、4、5
5、12、13
8、15、17
7、24、25
9、40、41
B.三角恒等式:(實(shí)用度: ★ )
這幾個(gè)公式對(duì)于初中來說確實(shí)沒什么用,很少能用到。不過如果有興趣,記下來了,高中需要背的時(shí)候就會(huì)少一些麻煩。
C.正余弦定理:(實(shí)用度: ★ ★ )
在遇到45度、60度、75度之類的非直角三角形題目時(shí),我們可以用上這兩個(gè)公式。其他時(shí)候很少能用得上。所以要記得:
D.重心(質(zhì)量法):(實(shí)用度: ★ ★ ★ )
三角形的重心將中線分為2:1的兩段。
質(zhì)量法:(填空壓軸題重點(diǎn)!!)
兩個(gè)小球A、B,如果質(zhì)量相等,如(1),那么它們的重心是AB的中點(diǎn)D。
如果質(zhì)量不等,質(zhì)量比為m/n,如(2),那么重心D仍在AB上,而AD/DB=n/m。(即杠桿原理)
如果三個(gè)質(zhì)量相等(都等于1)的小球A、B、C構(gòu)成三角形ABC要求它們的重心可以分為兩步:
先求出B、C的重心,即B、C的中點(diǎn)D,可以用質(zhì)量為2(=1+1)的小球放在D點(diǎn),以取代B、C兩個(gè)小球。
再求A、D的重心,由于D處的質(zhì)量為2,A處的質(zhì)量為1,所以重心G在AD上,且分AD為2:1(即AG:GD=2:1)。
下面,我們舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。
例:如圖△ABC,AB上有一點(diǎn)E,BC上有一點(diǎn)D,AD交CE于點(diǎn)G,當(dāng)AE:EB=1:2,BD:DC=1:2時(shí),AG:GD等于多少?
解:我們?cè)贑處放質(zhì)量為1的小球,B處放質(zhì)量為2的小球,A處放質(zhì)量為4的小球。此時(shí)AB、BC的重心E、D滿足AE:EB=1:2,BD:DC=1:2。
我們將B、C的質(zhì)量集中在D點(diǎn),質(zhì)量為3。A點(diǎn)質(zhì)量為4。故AG:GD=3:4
同樣如果需要,我們可以求得EG:GC=1:6
(3)圓:
A.弦切角定理:(實(shí)用度: ★ ★ )
解釋:頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
如圖所示,線段PT所在的直線切圓O于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都為弦切角。
定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)。
在上圖中,我們有∠TCB=∠CAB、∠PCA=∠CBA
B.圓冪定理:(實(shí)用度: ★ ★ ★)
相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理的統(tǒng)稱。
①相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。
如圖I,即有AP·PB=CP·PD
②割線定理:從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B;C、D,
如圖II,即有PA·PB=PC·PD
③切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。
如圖III,即有PA^2=PC·PD
④切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等。
如圖IV,即有PA=PC
C.托勒密定理:(實(shí)用度: ★ ★ )
圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。
如圖,即有AB·CD+AD·BC=AC·BD
D.四點(diǎn)共圓:(實(shí)用度: ★ ★ ★ )
(填空壓軸題重點(diǎn)!!)
①對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四點(diǎn)共圓。
∠ADC+∠ABC=180度
②一個(gè)角的對(duì)角等于其補(bǔ)角的四邊形四點(diǎn)共圓。
∠ADC=∠EBC
③同底、同側(cè)且對(duì)底邊張等角的四點(diǎn)共圓。
∠ADB=∠ACB
④相交弦定理的逆定理。
AP·PC=BP·PD
⑤割線定理的逆定理。
PA·PB=PC·PD(圖中未給出)
⑥托勒密定理的逆定理
AB·CD+AD·BC=AC·BD
⑦其他,如西姆松定理的逆定理等。
上述定理的核心之處就在于各個(gè)定理通過四點(diǎn)共圓和相似三角形聯(lián)系在一起。我們舉一個(gè)例子進(jìn)行練習(xí)。
例:如圖,△ABC為等邊三角形,D為AB上一點(diǎn),點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AE、BE,∠BEC=60度,若AE=3,CE=7 ,則BE=________。
解:
因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,
所以∠BAC=∠BEC=60度,
所以A、E、B、C四點(diǎn)共圓
由托勒密定理可得:AB·CE=AC·BE+AE·BC,
因?yàn)锳B=AC=BC,
所以CE=AE+BE,
所以BE=CE-AE=4
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