北京高中一輪復(fù)習(xí)資料

2021-08-08 20:16:41 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

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　　數(shù)列極限的性質(zhì)

　　唯一性、有界性、保號(hào)性、保不等式性、迫斂性。若數(shù)列存在極限，則該極限唯一;若數(shù)列存在極限，則該數(shù)列一定有界;若數(shù)列存在極限，且極限大于零(或小于零)，則存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，數(shù)列項(xiàng)an大于零(或小于零)。

　　若數(shù)列的每一項(xiàng)非負(fù)且數(shù)列收斂，則其極限也非負(fù)�？筛鶕�(jù)保號(hào)性定理，用反證法證明。

　　若數(shù)列的每一項(xiàng)小于等于零且數(shù)列收斂，則其極限也小于等于零。

　　數(shù)列的極限問題是我們學(xué)習(xí)的一個(gè)比較重要的部分，同時(shí)，極限的理論也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。數(shù)列極限的問題作為微積分的基礎(chǔ)概念，其建立與產(chǎn)生對(duì)微積分的理論有著重要的意義。

　　在實(shí)數(shù)系中，單調(diào)有界數(shù)列必有極限。任何有界數(shù)列必有收斂的子列。

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　　特征值與特征向量的關(guān)系

　　一個(gè)特征值只能有一個(gè)特征向量。特征值和特征向量都是數(shù)學(xué)概念，若σ是線性空間V的線性變換，σ對(duì)V中某非零向量x的作用是伸縮，σ(x)=aζ，則稱x是σ的屬于a的特征向量，a稱為σ的特征值。

　　位似變換σk(即對(duì)V中所有a，有σk(a)=kα)使V中非零向量均為特征向量，它們同屬特征值k;而旋轉(zhuǎn)角θ(0<θ<π)的變換沒有特征向量�？梢酝ㄟ^矩陣表示求線性變換的特征值、特征向量。

　　若A是n階方陣，I是n階單位矩陣，則稱xI-A為A的特征方陣，xI-A的行列式|xI-A|展開為x的n次多項(xiàng)式fA(x)=xn-(a11+…+ann)xn-1+…+(-1)n|A|，稱為A的特征多項(xiàng)式，它的根稱為A的特征值。若λ0是A的一個(gè)特征值，則以λ0I-A為系數(shù)方陣的齊次方程組的非零解x稱為A的屬于λ的特征向量：Ax=λ0x。L.歐拉在化三元二次型到主軸的著作里隱含出現(xiàn)了特征方程概念，J.L.拉格朗日為處理六大行星運(yùn)動(dòng)的微分方程組首先明確給出特征方程概念。特征方程也稱永年方程，特征值也稱本征值、固有值。固有值問題在物理學(xué)許多部門是重要問題。線性變換或矩陣的對(duì)角化、二次型化到主軸都?xì)w為求特征值特征向量問題。每個(gè)實(shí)對(duì)稱方陣的特征根均為實(shí)數(shù)。A.凱萊于19世紀(jì)中期通過對(duì)三階方陣驗(yàn)證，宣告凱萊-哈密頓定理成立，即每個(gè)方陣A滿足它的特征方程，fA(A)=An-(a11+…+ann)An-1+…+(-1)n|A|I=0。

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