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小學數(shù)學知識點
“牛吃草”問題
【含義】
“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。
【數(shù)量關(guān)系】
草總量=原有草量+草每天生長量×天數(shù)
【解題思路和方法】
解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。
例1
一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完?
解
草是均勻生長的，所以，草總量=原有草量+草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛?設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：
(1)求草每天的生長量
因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即(1×10×20);另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以
1×10×20=原有草量+20天內(nèi)生長量
同理1×15×10=原有草量+10天內(nèi)生長量
由此可知(20-10)天內(nèi)草的生長量為
1×10×20-1×15×10=50
因此，草每天的生長量為50÷(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天內(nèi)總草量-10內(nèi)生長量=1×15×10-5×10=100
(3)求5天內(nèi)草總量
5天內(nèi)草總量=原有草量+5天內(nèi)生長量=100+5×5=125
(4)求多少頭牛5天吃完草
因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。
因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5=25(頭)
答：需要5頭牛5天可以把草吃完。
例2
一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完;如果只有5人淘
水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完?
解
這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)(相當于“牛數(shù)”)，求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：
(1)求每小時進水量
因為，3小時內(nèi)的總水量=1×12×3=原有水量+3小時進水量
10小時內(nèi)的總水量=1×5×10=原有水量+10小時進水量
所以，(10-3)小時內(nèi)的進水量為1×5×10-1×12×3=14
因此，每小時的進水量為14÷(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1×12×3-3小時進水量=36-2×3=30
(3)求17人幾小時淘完
17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為(17-2)，所以17人淘完水的時間是
30÷(17-2)=2(小時)
答：17人2小時可以淘完水。
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