高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)與例題

2021-09-11 17:14:04 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

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高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)與例題！都說(shuō)高中的數(shù)學(xué)是最燒腦的，因?yàn)樗總€(gè)知識(shí)點(diǎn)之間跨度大，可對(duì)于有數(shù)學(xué)天賦的人來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)起來(lái)是很輕松的，畢竟數(shù)學(xué)不需要背誦大量的基礎(chǔ)內(nèi)容，只要學(xué)會(huì)活學(xué)活用就好了。下面，小編為大家?guī)?lái)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)與例題。

指數(shù)不等式

接下來(lái)就開(kāi)始變形了。這里的不等式都是從不等式1變形得到的：

不等式1.1 $e^x\geq ex$ ，其中 $x\in \mathbb{R}$ 。

證明在不等式1中，用 $x-1$ 代替 $x$ 得： $e^{x-1}\geq x\Leftrightarrow e^x\geq ex$ 。

注意到在不等式1.1中， $y=ex$ 是曲線(xiàn) $y=e^x$ 在 $x=1$ 處的切線(xiàn)，推廣到任意一點(diǎn)的切線(xiàn)后，可以得到曲線(xiàn) $y=e^x$ 在 $x=x_0$ 處的切線(xiàn)方程為 $y=e^{x_0}\cdot x+(1-x_0)\cdot e^{x_0}$ 。

因此得到以下不等式：

不等式1.2 $e^x\geq e^{x_0}\cdot x+(1-x_0)\cdot e^{x_0}$ ，其中 $x\in\mathbb R$ ， $x_0$ 是給定的實(shí)數(shù)。

證明取定實(shí)數(shù) $x_0$ 后，在不等式1中，用 $x-x_0$ 代替 $x$ 得： $e^{x-x_0}\geq x+(1-x_0)$ $\Leftrightarrow e^x\geq e^{x_0}\cdot x+(1-x_0)\cdot e^{x_0}$ 。

當(dāng)然，我們可以再對(duì)不等式1.1進(jìn)行變形，將其推廣到 $n$ 次方的形式：

不等式1.3 $e^x\geq\frac{e^{n}}{n^n}\cdot x^n$ ，其中 $x>0$ ， $n$ 是給定的自然數(shù)。

證明在不等式1.1中，用 $\frac{x}{n}$ 代替 $x$ 得： $e^\frac{x}{n}\geq \frac{e}{n}\cdot x$ ，當(dāng) $x>0$ 時(shí)，兩邊同時(shí)取 $n$ 次方，可以得到 $e^x\geq\frac{e^{n}}{n^n}\cdot x^n$ 。

這個(gè)不等式說(shuō)明，指數(shù)的增長(zhǎng)速度可以比任意次數(shù)的冪函數(shù)都快。

接下來(lái)考慮用類(lèi)似的方法對(duì)不等式1變形，得到一個(gè)非常重要的結(jié)論：

不等式1.4 $(1+\frac{1}{n})^n<e$ ，其中 $n\in\mathbb{N}$ 。

證明在不等式1中，用 $\frac{1}{n}$ 代替 $x$ 得： $e^\frac{1}{n}\geq \frac{1}{n}+1$ ，兩邊同時(shí)取 $n$ 次方，可以得到 $(1+\frac{1}{n})^n<e$ 。

當(dāng)然還可以證明 $(1+\frac{x}{n})^n<e^x$ ，但是最常見(jiàn)的是 $(1+\frac{1}{n})^n<e$ 。并且根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的結(jié)論， $e=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ 。

當(dāng)然除了一次函數(shù)和冪函數(shù)，還可以通過(guò)變形得到分式函數(shù)相關(guān)的不等式：

不等式1.5 $e^x\le \frac{1}{1-x}$ ，其中 $x<1$ 。

證明在不等式1中，用 $-x$ 代替 $x$ 得： $e^{-x}\geq 1-x$ ，當(dāng) $x<1$ 時(shí)，移項(xiàng)得到 $e^x\le \frac{1}{1-x}$ 。

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善于分門(mén)別類(lèi)，善于抽出本質(zhì)

學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到大量的概念、定理公式、典型方法，對(duì)他們進(jìn)行概括小結(jié)使之系統(tǒng)化是非常重要的，這是老師在課堂上常常做的事情。其實(shí)每個(gè)學(xué)生也要經(jīng)常做這件事情。開(kāi)始時(shí)你可能做不好甚至不會(huì)做，這沒(méi)有關(guān)系，只要多做幾次就越來(lái)越會(huì)做，越做越好。你先去感覺(jué)老師給你的筆記，體會(huì)老師是如何對(duì)知識(shí)進(jìn)行概括小結(jié)的，以后，可以在老師的基礎(chǔ)上結(jié)合自己的實(shí)際對(duì)知識(shí)進(jìn)行有個(gè)性的分門(mén)別類(lèi)，每做一次這樣的事情你的認(rèn)識(shí)就會(huì)提高一次，多做幾次你的思想就有可能升華。平常我們要研究許多題型，做大量的習(xí)題，一旦抓住了一類(lèi)習(xí)題的本質(zhì)就要及時(shí)歸納總結(jié)，用自己的話(huà)表達(dá)對(duì)這一本質(zhì)的理解。分門(mén)別類(lèi)可以使學(xué)過(guò)的知識(shí)有條理，便于記憶，便于應(yīng)用。抽出本質(zhì)，可以極大地提高自己的認(rèn)識(shí)水平。

積極主動(dòng)、善于變通

失敗者有一個(gè)共同的特點(diǎn)，只要遇到有不會(huì)做的就不做，遇到不會(huì)解的題就不解。當(dāng)一個(gè)人不做事的時(shí)候，這個(gè)人就無(wú)從發(fā)展，無(wú)法進(jìn)步了，能力就越來(lái)越差。事實(shí)上，任何一件事都有很多的做法。說(shuō)個(gè)“好”字可以有一百種說(shuō)法，聲音的高低可以有一百種，語(yǔ)氣的變化也可以有一百種。跑不了5000米，先跑1000米，跑不了1000米，先跑100米，跑不了100米，先走100米，走不了，爬也行。任何一件事你無(wú)法直接做可以退一步或退幾步去做，總之要去做。不會(huì)做這道題，就做與這道題相關(guān)的課本的例題，千萬(wàn)不能什么也不做。無(wú)論如何，你要?jiǎng)悠饋?lái)，不動(dòng)不行，不做不行。從簡(jiǎn)單開(kāi)始，努力做事，每天堅(jiān)持，你總會(huì)越來(lái)越好的。變法子做你不能直接做的事情，培養(yǎng)自己積極主動(dòng)、善于變通的習(xí)慣，可以終身受用。形成這一種好習(xí)慣的重要原則是：起點(diǎn)要低，起動(dòng)要慢，日積一日，終達(dá)目地。

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