五年級(jí)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)：簡單的抽屜原理

2010-05-25 10:02:59 　來源：本站原創(chuàng)

　　把3個(gè)蘋果任意放到兩個(gè)抽屜里，可以有哪些放置的方法呢?一個(gè)抽屜放一個(gè)，另一個(gè)抽屜放兩個(gè);或3個(gè)蘋果放在某一個(gè)抽屜里.盡管放蘋果的方式有所不同，但是總有一個(gè)共同的規(guī)律：至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果.如果把5個(gè)蘋果任意放到4個(gè)抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結(jié)果.由此我們可以想到，只要蘋果的個(gè)數(shù)多于抽屜的個(gè)數(shù)，就一定能助力至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果.道理很簡單：如果每個(gè)抽屜里的蘋果都不到兩個(gè)(也就是至多有1個(gè))，那么所有抽屜里的蘋果數(shù)的和就比總數(shù)少了.由此得到：

　　抽屜原理：把多于n個(gè)的蘋果放進(jìn)n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。

　　如果把蘋果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結(jié)論，所以有時(shí)也把抽屜原理叫做鴿籠原理.不要小看這個(gè)“原理”，利用它可以解決一些表面看來似乎很難的數(shù)學(xué)問題。

　　比如，我們從街上隨便找來13人，就可以斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相(指鼠、牛、虎、兔、…等十二種生肖)相同.怎樣證明這個(gè)結(jié)論是正確的呢?只要利用抽屜原理就很容易把道理講清楚.事實(shí)上，由于人數(shù)(13)比屬相數(shù)(12)多，因此至少有兩個(gè)人屬相相同(在這里，把13人看成13個(gè)“蘋果”，把12種屬相看成12個(gè)“抽屜”)。

　　應(yīng)用抽屜原理要注意識(shí)別“抽屜”和“蘋果”，蘋果的數(shù)目一定要大于抽屜的個(gè)數(shù)。

　　例1 有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請(qǐng)你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

　　分析與解答首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個(gè)抽屜.把每人的3枚棋作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋果，因此共有5個(gè)蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜.由于有5個(gè)蘋果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

　　例2 一副撲克牌(去掉兩張)，每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能助力他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的?

　　分析與解答撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計(jì)10種情況.把這10種花色配組看作10個(gè)抽屜，只要蘋果的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)就可以有題目所要的結(jié)果.所以至少有11個(gè)人。

　　例3 證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)。

　　分析與解答在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個(gè)整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差a-b是m的倍數(shù).根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，本題只需證明這8個(gè)自然數(shù)中有2個(gè)自然數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同.我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個(gè)抽屜.任取8個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是7的倍數(shù)。

　　把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一個(gè)類含有無窮多個(gè)數(shù)，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究與整除有關(guān)的問題時(shí)，常用剩余類作為抽屜.根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意n+1個(gè)自然數(shù)中，總有兩個(gè)自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。

　　在有些問題中，“抽屜”和“蘋果”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“蘋果”.如何制造“抽屜”和“蘋果”可能是很困難的，一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)。

　　例4 從2、4、6、…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。

　　分析與解答我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：

　　凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34。

　　現(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理(因?yàn)槌閷现挥?個(gè))，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34。

　　例5 從1、2、3、4、…、19、20這20個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以助力其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是12。分析與解答在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對(duì)：

　　{20，8｝，{19，7｝，{18，6｝，{17，5｝，{16，4｝，{15，3｝，{14，2｝，{13，1｝。

　　另外還有4個(gè)不能配對(duì)的數(shù){9｝，{10｝，{11｝，{12｝，共制成12個(gè)抽屜(每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜).只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù)，即可辦到(取12個(gè)數(shù)：從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)(例如取1，2，3，…，12)，那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12)。

　　例6 從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

　　分析與解答根據(jù)題目所要求證的問題，診斷慮按照同一抽屜中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系的原則制造抽屜.把這20個(gè)數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成10個(gè)抽屜(顯然，它們具有上述性質(zhì))：

　　{1，2，4，8，16｝，{3，6，12｝，{5，10，20｝，{7，14｝，{9，18｝，{11｝，{13｝，{15｝，{17｝，{19｝。

　　從這10個(gè)數(shù)組的20個(gè)數(shù)中任取11個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個(gè)數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)一定是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

　　例7 證明：在任取的5個(gè)自然數(shù)中，必有3個(gè)數(shù)，它們的和是3的倍數(shù)。

　　分析與解答按照被3除所得的余數(shù)，把全體自然數(shù)分成3個(gè)剩余類，即構(gòu)成3個(gè)抽屜.如果任選的5個(gè)自然數(shù)中，至少有3個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜，那么這3個(gè)數(shù)除以3得到相同的余數(shù)r，所以它們的和一定是3的倍數(shù)(3r被3整除)。

　　如果每個(gè)抽屜至多有2個(gè)選定的數(shù)，那么5個(gè)數(shù)在3個(gè)抽屜中的分配必為1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)，即3個(gè)抽屜中都有選定的數(shù).在每個(gè)抽屜中各取1個(gè)數(shù)，那么這3個(gè)數(shù)除以3得到的余數(shù)分別為0、1、2.因此，它們的和也一定能被3整除(0+1+2被3整除)。

　　例8 某校校慶，來了n位校友，彼此認(rèn)識(shí)的握手問候.請(qǐng)你證明無論什么情況，在這n個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。

　　分析與解答共有n位校友，每個(gè)人握手的次數(shù)較少是0次，即這個(gè)人與其他校友都沒有握過手;較多有n-1次，即這個(gè)人與每位到會(huì)校友都握了手.校友人數(shù)與握手次數(shù)的不同情況(0，1，2，…，n-1)數(shù)都是n，還無法用抽屜原理。

　　然而，如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)較多的不能多于n-2次;如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是n-1次，那么握手次數(shù)較少的不能少于1次.不管是前一種狀態(tài)0、1、2、…、n-2，還是后一種狀態(tài)1、2、3、…、n-1，握手次數(shù)都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個(gè)抽屜，到會(huì)的n個(gè)校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)人屬于同一抽屜，則這兩個(gè)人握手的次數(shù)一樣多。