高考熱點(diǎn)解析：數(shù)學(xué)對(duì)稱問題

2011-10-04 18:07:47 　來源：南方日?qǐng)?bào)

　　對(duì)稱問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)一些構(gòu)思新穎解法靈活的對(duì)稱問題，為使對(duì)稱問題的知識(shí)系統(tǒng)化，本文特作以下歸納。

　　一、點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線對(duì)稱點(diǎn)問題

　　1、設(shè)點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱點(diǎn)為P′（x′，y′），

　　x′=2a-x

　　由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y′=2b-y

　　2、點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對(duì)稱點(diǎn)為

　　x′=x-（Ax+By+C）

　　P′（x′，y′）則

　　y′=y-（AX+BY+C）

　　事實(shí)上：∵PP′⊥L及PP′的中點(diǎn)在直線L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C

　　解此方程組可得結(jié)論。

　�。�-）=-1（B≠0）

　　特別地，點(diǎn)P（x，y）關(guān)于

　　1、x軸和y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為（x，-y）和（-x，y）

　　2、直線x=a和y=a的對(duì)標(biāo)點(diǎn)分別為（2a-x，y）和（x，2a-y）

　　3、直線y=x和y=-x的對(duì)稱點(diǎn)分別為（y，x）和（-y，-x）

　　例1光線從A（3，4）發(fā)出后經(jīng)過直線x-2y=0反射，再經(jīng)過y軸反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)B（1，5），求射入y軸后的反射線所在的直線方程。

　　解：如圖，由公式可求得A關(guān)于直線x-2y=0的對(duì)稱點(diǎn)

　　A′（5，0），B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′為（-1，5），直線A′B′的方程為5x+6y-25=0

　�。郈（0，）

　　｀直線BC的方程為：5x-6y+25=0

　　二、曲線關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱曲線問題

　　求已知曲線F（x，y）=0關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱曲線方程時(shí)，只須將曲線F（x，y）=O上任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程F（x，y）=0中相應(yīng)的作稱即得，由此我們得出以下結(jié)論。

　　1、曲線F（x，y）=0關(guān)于點(diǎn)（a，b）的對(duì)稱曲線的方程是F（2a-x，2b-y）=0

　　2、曲線F（x，y）=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱的曲線方程是F（x-（Ax+By+C），y-（Ax+By+C））=0

　　特別地，曲線F（x，y）=0關(guān)于

　�。�1）x軸和y軸對(duì)稱的曲線方程分別是F（x，-y）和F（-x，y）=0

　�。�2）關(guān)于直線x=a和y=a對(duì)稱的曲線方程分別是F（2a-x，y）=0和F（x，2a-y）=0

　�。�3）關(guān)于直線y=x和y=-x對(duì)稱的曲線方程分別是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0

　　除此以外還有以下兩個(gè)結(jié)論：對(duì)函數(shù)y=f（x）的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象得到y(tǒng)=f（|x|）的圖象；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f（x）|的圖象。

　　例2（全國(guó)高診斷題）設(shè)曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動(dòng)t，s單位長(zhǎng)度后得曲線C1：

　　1）寫出曲線C1的方程

　　2）證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱。

　�。�1）解知C1的方程為y=（x-t）3-（x-t）+s

　　（2）證明在曲線C上任取一點(diǎn)B（a，b），設(shè)B1（a1，b1）是B關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：

　　s-b1=（t-a1）3-（t-a1）

　�。郻1=（a1-t）3-（a1-t）+s

　　｀B1（a1，b1）滿足C1的方程

　�。郆1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上

　�。嗲€C和C1關(guān)于a對(duì)稱

　　我們用前面的結(jié)論來證：點(diǎn)P（x，y）關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P1（t-x，s-y），為了求得C關(guān)于A的對(duì)稱曲線我們將其坐標(biāo)代入C的方程，得：s-y=（t-x）3-（t-x）

　�。鄖=（x-t）3-（x-t）+s

　　此即為C1的方程，｀C關(guān)于A的對(duì)稱曲線即為C1。

　　三、曲線本身的對(duì)稱問題

　　曲線F（x，y）=0為（中心或軸）對(duì)稱曲線的充要條件是曲線F（x，y）=0上任意一點(diǎn)P（x，y）（關(guān)于對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換曲線方程中相應(yīng)的坐標(biāo)后方程不變。

　　例如拋物線y2=-8x上任一點(diǎn)p（x，y）與x軸即y=0的對(duì)稱點(diǎn)p′（x，-y），其坐標(biāo)也滿足方程y2=-8x，｀y2=-8x關(guān)于x軸對(duì)稱。

　　例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：

　　A、關(guān)于y軸對(duì)稱B、關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

　　C、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D、關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱

　　解：在方程中以-x換x，同時(shí)以-y換y得

　�。�-x）（-y）2-（-x）2（-y）=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變

　�。嗲€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

　　函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點(diǎn)的對(duì)稱問題我們有如下幾個(gè)重要結(jié)論：

　　1、函數(shù)f（x）定義線為R，a為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R，均有f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱。

　　這是因?yàn)閍+x和a-x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對(duì)稱，且其函數(shù)值相等，說明這兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，由x的任意性可得結(jié)論。

　　例如對(duì)于f（x）若t∈R均有f（2+t）=f（2-t）則f（x）圖象關(guān)于x=2對(duì)稱。若將條件改為f（1+t）=f（3-t）或f（t）=f（4-t）結(jié)論又如何呢？先進(jìn)式中令t=1+m則得f（2+m）=f（2-m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2-m），所以仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對(duì)稱，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：

　　2、函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R均有f（a+x）=f（b-x），則其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱。

　　我們?cè)賮硖接懸韵聠栴}：若將條件改為f（2+t）=-f（2-t）結(jié)論又如何呢？試想如果2改成0的話得f（t）=-f（t）這是奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）成中心對(duì)稱，現(xiàn)在是f（2+t）=-f（2-t）造成了平移，由此我們猜想，圖象關(guān)于M（2，0）成中心對(duì)稱。如圖，取點(diǎn)A（2+t，f（2+t））其關(guān)于M（2，0）的對(duì)稱點(diǎn)為A′（2-x，-f（2+x））

　　∵-f（2+X）=f（2-x）｀A′的坐標(biāo)為（2-x，f（2-x））顯然在圖象上

　�。鄨D象關(guān)于M（2，0）成中心對(duì)稱。

　　若將條件改為f（x）=-f（4-x）結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：

　　3、f（X）定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R均有f（a+x）=-f（b-x），則其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）成中心對(duì)稱。

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