2016年高考數(shù)學專項練習題（十五）

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　　1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動點P的軌跡是(　　)

　　A.雙曲線 B.雙曲線左邊一支

　　C.雙曲線右邊一支 D.一條射線

　　2.若雙曲線方程為x2-2y2=1,則它的右焦點坐標為(　　)

　　A. B. C. D.(,0)

　　3.(2014大綱全國,文11)雙曲線C:=1(a>0,b>0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離為,則C的焦距等于(　　)

　　A.2 B.2 C.4 D.4

　　4.過雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點F作圓x2+y2=a2的切線FM(切點為M),交y軸于點P.若M為線段FP的中點,則雙曲線的離心率是(　　)

　　A. B. C.2 D.

　　5.已知雙曲線的兩個焦點為F1(-,0),F2(,0), M是此雙曲線上的一點,且滿足=0,|=2,則該雙曲線的方程是(　　)

　　A.-y2=1 B.x2-=1 C.=1 D.=1

　　6.已知雙曲線C的離心率為2,焦點為F1,F2,點A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cosAF2F1=(　　)

　　A. B. C. D.

　　7.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線=1上一點M的橫坐標為3,則點M到此雙曲線的右焦點的距離為　　　　　.

　　8.A,B是雙曲線C的兩個頂點,直線l與雙曲線C交于不同的兩點P,Q,且與實軸所在直線垂直.若=0,則雙曲線C的離心率e=　　　　　.

　　9.已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為,且過點(4,-).

　　(1)求雙曲線方程;

　　(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:=0;

　　(3)在(2)的條件下求F1MF2的面積.

　　10.已知點M(-2,0),N(2,0),動點P滿足條件|PM|-|PN|=2,記動點P的軌跡為W.

　　(1)求W的方程;

　　(2)若A和B是W上的不同兩點,O是坐標原點,求的較小值.

　　11.等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,C與拋物線y2=16x的準線交于A,B兩點,|AB|=4,則C的實軸長為(　　)

　　A. B.2 C.4 D.8

　　12.已知點P是雙曲線=1(a>0,b>0)右支上一點,F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,點I為PF1F2的內(nèi)心,若+λ成立,則λ的值為(　　)

　　A. B. C. D.

　　13.若點O和點F(-2,0)分別為雙曲線-y2=1(a>0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為(　　)

　　A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)

　　C. D.

　　14.(2014浙江,文17)設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B.若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是　　　　　.

　　15.

　　(2014湖南,文20)如圖,O為坐標原點,雙曲線C1:=1(a1>0,b1>0)和橢圓C2:=1(a2>b2>0)均過點P,且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.

　　(1)求C1,C2的方程;

　　(2)是否存在直線l,使得l與C1交于A,B兩點,與C2只有一個公共點,且||=||?證明你的結(jié)論.

　　16.已知雙曲線E:=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x.

　　(1)求雙曲線E的離心率;

　　(2)如圖,O為坐標原點,動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在先進、四象限),且OAB的面積恒為8.試探究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程;若不存在,說明理由.

　　參考答案：

　　1.C　解析:|PM|-|PN|=3<4,

　　∴由雙曲線定義知,其軌跡為雙曲線的一支.

　　又|PM|>|PN|,∴點P的軌跡為雙曲線的右支.

　　2.C　解析:雙曲線的標準方程為x2-=1,a2=1,b2=.

　　∴c2=a2+b2=.

　　∴c=,故右焦點坐標為.

　　3.C　解析:e=2,∴=2.

　　設(shè)焦點F2(c,0)到漸近線y=x的距離為,

　　漸近線方程為bx-ay=0,

　　.

　　∵c2=a2+b2,∴b=.

　　由=2,得=2,

　　=4,

　　解得c=2.焦距2c=4,故選C.

　　4.A　解析:如圖所示,在RtOPF中,OMPF,且M為PF的中點,

　　則POF為等腰直角三角形.

　　所以O(shè)MF也是等腰直角三角形.

　　所以有|OF|=|OM|,即c=a.

　　故e=.

　　5.A　解析:由=0,可知.

　　可設(shè)||=t1,||=t2,

　　則t1t2=2.

　　在MF1F2中,=40,

　　則|t1-t2|=

　　==6=2a.

　　解得a=3.故所求雙曲線方程為-y2=1.

　　6.A　解析:雙曲線的離心率為2,=2,

　　∴a∶b∶c=1∶∶2.

　　又

　　∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,

　　∴|F1F2|=2c=4a,

　　∴cos∠AF2F1

　　=

　　=,

　　選A.

　　7.4　解析:由題意點M的坐標可求得為M(3,±),雙曲線的右焦點的坐標為F2(4,0).

　　由兩點間的距離公式得|F2M|==4.

　　8.　解析:如圖所示,設(shè)雙曲線方程為=1,取其上一點P(m,n),

　　則Q(m,-n),由=0可得(a-m,-n)·(m+a,-n)=0,

　　化簡得a2-m2+n2=0.

　　又=1可得b=a,

　　故雙曲線的離心率為e=.

　　9.(1)解:因為e=,

　　所以可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ.

　　因為雙曲線過點(4,-),

　　所以16-10=λ,即λ=6.

　　所以雙曲線方程為=1.

　　(2)證明:由(1)可知,在雙曲線中a=b=,所以c=2.

　　所以F1(-2,0),F2(2,0).

　　所以=(-2-3,-m),

　　=(2-3,-m),

　　則=9-12+m2=m2-3.

　　因為點(3,m)在雙曲線上,

　　所以9-m2=6,即m2=3.

　　所以=m2-3=0.

　　(3)解:由 (2)知F1MF2的高h=|m|=,由F1MF2的底邊|F1F2|=4,

　　則=6.

　　10.解:(1)由|PM|-|PN|=2知動點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支,實半軸長a=.

　　又焦距2c=4,所以虛半軸長b=.

　　所以W的方程為=1(x≥). (2)設(shè)A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).

　　當ABx軸時,x1=x2,y1=-y2,

　　從而=x1x2+y1y2==2.

　　當AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(k≠±1),與W的方程聯(lián)立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,

　　則x1+x2=,x1x2=,

　　所以=x1x2+y1y2

　　=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

　　=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

　　=+m2

　　==2+.

　　又因為x1x2>0,所以k2-1>0.

　　所以>2.

　　綜上所述,當ABx軸時,取得較小值2.

　　11.C　解析:設(shè)等軸雙曲線方程為x2-y2=m(m>0),

　　因為拋物線的準線為x=-4,

　　且|AB|=4,所以|yA|=2.

　　把坐標(-4,2)代入雙曲線方程得m=x2-y2=16-12=4,

　　所以雙曲線方程為x2-y2=4,

　　即=1.

　　所以a2=4,所以實軸長2a=4.

　　12.B　解析:設(shè)PF1F2內(nèi)切圓半徑為r,根據(jù)已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r+×2c×r,

　　整理可得|PF1|=|PF2|+2λc.

　　由雙曲線的定義可得

　　|PF1|-|PF2|=2a,

　　則2λc=2a,故λ=.

　　13.B　解析:由a2+1=4,得a=,

　　則雙曲線方程為-y2=1.

　　設(shè)點P(x0,y0),則=1,

　　即-1.

　　=x0(x0+2)+

　　=+2x0+-1

　　=,

　　x0≥,∴當x0=時,取較小值3+2.故的取值范圍是[3+2,+∞).

　　14.　解析:雙曲線=1的兩條漸近線方程分別是y=x和y=-x.

　　由

　　解得A,

　　由

　　解得B.

　　設(shè)AB中點為E,

　　則E.

　　由于|PA|=|PB|,所以PE與直線x-3y+m=0垂直,

　　而kPE=,

　　于是=-1.

　　所以a2=4b2=4(c2-a2).

　　所以4c2=5a2,解得e=.

　　15.解:(1)設(shè)C2的焦距為2c2,由題意知,2c2=2,2a1=2.從而a1=1,c2=1.

　　因為點P在雙曲線x2-=1上,所以=1.故=3.

　　由橢圓的定義知2a2

　　==2.

　　于是a2==2.

　　故C1,C2的方程分別為x2-=1,=1.

　　(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.

　　若直線l垂直于x軸,因為l與C2只有一個公共點,所以直線l的方程為x=或x=-.

　　當x=時,易知A(),B(,-),

　　所以||=2,||=2.

　　此時,||≠||.

　　當x=-時,

　　同理可知,||≠||.

　　若直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為y=kx+m.

　　由

　　得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

　　當l與C1相交于A,B兩點時,

　　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

　　則x1,x2是上述方程的兩個實根,

　　從而x1+x2=,x1x2=.

　　于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.

　　由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.

　　因為直線l與C2只有一個公共點,所以上述方程的判別式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.

　　化簡,得2k2=m2-3,

　　因此=x1x2+y1y2=≠0,

　　于是+2-2,

　　即||≠||,

　　故||≠||.

　　綜合,②可知,不存在符合題設(shè)條件的直線.

　　16.解法一:(1)因為雙曲線E的漸近線分別為y=2x,y=-2x,

　　所以=2,所以=2,

　　故c=a,

　　從而雙曲線E的離心率e=.

　　(2)由(1)知,雙曲線E的方程為=1.

　　設(shè)直線l與x軸相交于點C.

　　當lx軸時,若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點,

　　則|OC|=a,|AB|=4a,

　　又因為OAB的面積為8,

　　所以|OC|·|AB|=8,

　　因此a·4a=8,解得a=2,

　　此時雙曲線E的方程為=1.

　　若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為=1.

　　以下證明:當直線l不與x軸垂直時,雙曲線E:=1也滿足條件.

　　設(shè)直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k<-2,則C.

　　記A(x1,y1),B(x2,y2).

　　由得y1=,

　　同理得y2=,

　　由SOAB=|OC|·|y1-y2|得,

　　=8,

　　即m2=4|4-k2|=4(k2-4).

　　由得,

　　(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.

　　因為4-k2<0,

　　Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又m2=4(k2-4),

　　所以Δ=0,即l與雙曲線E有且只有一個公共點.

　　因此,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為=1.

　　解法二:(1)同解法一.

　　(2)由(1)知,雙曲線E的方程為=1.

　　設(shè)直線l的方程為x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

　　依題意得-2或k<-2.

　　由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,

　　因為4-k2<0,Δ>0,

　　所以x1x2=,

　　又因為OAB的面積為8,

　　所以|OA|·|OB|·sinAOB=8,

　　由已知sinAOB=,

　　所以=8,化簡得x1x2=4.

　　所以=4,即m2=4(k2-4).

　　由(1)得雙曲線E的方程為=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,

　　因為4-k2<0,直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,

　　即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,

　　所以雙曲線E的方程為=1.

　　當lx軸時,由OAB的面積等于8可得l:x=2,又易知l:x=2與雙曲線E:=1有且只有一個公共點.

　　綜上所述,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為=1.

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