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北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法

2016-06-13 11:00:51  來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)整理

  函數(shù)是高一數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重點(diǎn),同學(xué)們應(yīng)該認(rèn)真理解函數(shù)知識(shí)點(diǎn),將容易混淆的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行辨別分析,較終熟練掌握函數(shù)知識(shí)點(diǎn),建立適合高一函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。為了幫助同學(xué)們學(xué)好高一函數(shù),愛(ài)智康小編將北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法分享給大家。

北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法之觀察法


  通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域。


  例1求函數(shù)y=3+√(2-3x)的值域。


  點(diǎn)撥:根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì),先求出√(2-3x)的值域。


  解:由算術(shù)平方根的性質(zhì),知√(2-3x)≥0,


  故3+√(2-3x)≥3。


  點(diǎn)評(píng):算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性,即:(1)被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性,(2)值的非負(fù)性。


  本題通過(guò)直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解,這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法,簡(jiǎn)捷明了,不失為一種巧法。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域?yàn)椋簕0,1,2,3,4,5})


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法之反函數(shù)法


  當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí),則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。


  例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。


  點(diǎn)撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),再求出其定義域。


  解:顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閧y∣y≠1,y∈R}。


  點(diǎn)評(píng):利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函數(shù)的值域?yàn)閧y∣y<-1或y>1})


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法之配方法


  當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域


  例3:求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。


  點(diǎn)撥:將被開(kāi)方數(shù)配方成完全平方數(shù),利用二次函數(shù)的較值求。


  解:由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1,2]。此時(shí)-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]


  ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]


  點(diǎn)評(píng):求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域。(答案:值域?yàn)閧y∣y≤3})


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法之判別式法


  若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無(wú)理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。


  例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。


  點(diǎn)撥:將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程,應(yīng)用二次方程根的判別式,從而確定出原函數(shù)的值域。


  解:將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)


  當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2


  當(dāng)y=2時(shí),方程(*)無(wú)解。∴函數(shù)的值域?yàn)?


  點(diǎn)評(píng):把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實(shí)數(shù)解,故其判別式為非負(fù)數(shù),可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域?yàn)閥≤-8或y>0)。


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法之較值法


  對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a)。f(b)作比較,求出函數(shù)的較值,可得到函數(shù)y的值域。


  例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。


  點(diǎn)撥:根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍,將目標(biāo)函數(shù)消元、配方,可求出函數(shù)的值域。


  解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),


  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù),故只需比較邊界的大小。


  當(dāng)x=-1時(shí),z=-5;當(dāng)x=3/2時(shí),z=15/4。


  ∴函數(shù)z的值域?yàn)閧z∣-5≤z≤15/4}。


  點(diǎn)評(píng):本題是將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的較值。對(duì)開(kāi)區(qū)間,若存在較值,也可通過(guò)求出較值而獲得函數(shù)的值域。


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法之圖象法


  通過(guò)觀察函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法之單調(diào)法


  利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。


  例1求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。


  點(diǎn)撥:由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù),即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x),其定義域?yàn)閤≤1/3,在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性,從而確定函數(shù)的值域。


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法之換元法


  以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進(jìn)而求出值域。


  例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1的值域。


  點(diǎn)撥:通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的較值,確定原函數(shù)的值域。


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法之比例法


  對(duì)于一類含條件的函數(shù)的值域的求法,可將條件轉(zhuǎn)化為比例式,代入目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。


  例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。


  點(diǎn)撥:將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式,設(shè)置參數(shù),代入原函數(shù)。


  解:由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))


  ∴x=3+4k,y=1+3k,


  ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。


  當(dāng)k=-3/5時(shí),x=3/5,y=-4/5時(shí),zmin=1。


  函數(shù)的值域?yàn)閧z|z≥1}。


  北京高一數(shù)學(xué)函數(shù)部分學(xué)習(xí)方法就為大家分享到這里了,希望以上的介紹可以給同學(xué)們帶來(lái)一定的幫助。如果你想要了解更多高考資訊,請(qǐng)撥打我們的熱線電話:4000-121-121進(jìn)行咨詢。

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