等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

2018-07-21 23:58:22 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式！等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)的一種數(shù)列，常用G、P表示。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數(shù)列a1≠ 0。下面為大家分享等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式!希望能幫到大家！

　　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

公式描述：公式中a1為數(shù)列首項(xiàng)，q為等比數(shù)列的公比，Sn為前n項(xiàng)和。

等比故事

根據(jù)歷史傳說記載，國(guó)際象棋起源于古印度，至今見諸于文獻(xiàn)較早的記錄是在薩珊王朝時(shí)期用波斯文寫的.據(jù)說，有位印度教宰相見國(guó)王自負(fù)虛浮，決定給他一個(gè)教訓(xùn).他向國(guó)王推薦了一種在當(dāng)時(shí)尚無人知曉的游戲.國(guó)王當(dāng)時(shí)整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無聊賴，很需要通過游戲方式來排遣郁悶的心情.國(guó)王對(duì)這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，高興之余，他便問那位宰相，作為對(duì)他忠心的獎(jiǎng)賞，他需要得到什么賞賜.宰相開口說道：請(qǐng)您在棋盤上的先進(jìn)個(gè)格子上放1粒麥子，第二個(gè)格子上放2粒，第三個(gè)格子上放4粒，第四個(gè)格子上放8粒……即每一個(gè)次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的兩倍，直到較后一個(gè)格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了。“好吧!”國(guó)王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了宰相的這個(gè)謙卑的請(qǐng)求。這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢?稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接寫出數(shù)字來就是18,446,744,073,709,551,615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內(nèi)所產(chǎn)的小麥的總和!如果造一個(gè)寬四米，高四米的糧倉(cāng)來儲(chǔ)存這些糧食，那么這個(gè)糧倉(cāng)就要長(zhǎng)三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個(gè)來回。國(guó)王哪有這么多的麥子呢?他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩·班·達(dá)依爾的一筆永遠(yuǎn)也無法還清的債。正當(dāng)國(guó)王一籌莫展之際，王太子的數(shù)學(xué)教師知道了這件事，他笑著對(duì)國(guó)王說：“陛下，這個(gè)問題很簡(jiǎn)單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會(huì)被它難倒?”國(guó)王大怒：“難道你要我把全世界兩千年產(chǎn)的小麥都給他?”年輕的教師說：“沒有必要啊，陛下。其實(shí)，您只要讓宰相大人到糧倉(cāng)去，自己數(shù)出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數(shù)一粒，數(shù)完18,446,744,073,709,551,615粒麥子所需要的時(shí)間，大約是5800億年(大家可以自己用器算一下!)。就算宰相大人日夜不停地?cái)?shù)，數(shù)到他自己魂歸極樂，也只是數(shù)出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下無法支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜。”國(guó)王恍然大悟，當(dāng)下就召來宰相，將教師的方法告訴了他。西薩·班·達(dá)依爾沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜……我也只好不要了!”當(dāng)然，較后宰相還是獲得了很多的賞賜。 [1]

公式

(1)定義式：

合并圖冊(cè)(2張)

(2)通項(xiàng)公式(等比數(shù)列通項(xiàng)公式通過定義式疊乘而來)：(3)求和公式：

求和公式用文字來描述就是：Sn=首項(xiàng)(1-公比的n次方)/1-公比(公比≠1)如果公比q=1，則等比數(shù)列中每項(xiàng)都相等，其通項(xiàng)公式為，任意兩項(xiàng)，的關(guān)系為;在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，一定要注意討論公比q是否為1.(4)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：

(5)等比中項(xiàng)：若，那么為

等比中項(xiàng)。記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1。另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列;反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。等比中項(xiàng)定義：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)。等比中項(xiàng)公式：

或者

。(6)無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：

無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：公比的少有值小于1的無窮等比數(shù)列，當(dāng)n無限增大時(shí)的極限叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和。(7)由等比數(shù)列組成的新的等比數(shù)列的公比：{an}是公比為q的等比數(shù)列1.若A=a1+a2+……+anB=an+1+……+a2nC=a2n+1+……a3n則，A、B、C構(gòu)成新的等比數(shù)列，公比Q=q^n2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2B=a2+a5+a8+……+a3n-1C=a3+a6+a9+……+a3n則，A、B、C構(gòu)成新的等比數(shù)列，公比Q=q [2] 。

性質(zhì)

(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq。

(2)在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。

(3)若“G是a、b的等比中項(xiàng)”則“G^2=ab(G≠0)”。

(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q1，{bn}也是等比數(shù)列，公比是q2，則{a2n}，{a3n}…是等比數(shù)列，公比為q1^2，q1^3…{can}，c是常數(shù)，{an*bn}，{an/bn}是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2。

(5)若(an)為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正，公比為q，則(log以a為底an的對(duì)數(shù))成等差，公差為log以a為底q的對(duì)數(shù)。

(6)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比數(shù)列中，首項(xiàng)A1與公比q都不為零。注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

(7)由于首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫成an=(a1/q)*q^n，它的指數(shù)函數(shù)y=a^x有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列 [2] 。

求通項(xiàng)方法

(1)待定系數(shù)法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an?構(gòu)造等比數(shù)列a(n+1)+x=2(an+x)a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3∴(a(n+1)+3)/(an+3)=2∴{an+3}為首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3

(2)定義法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通項(xiàng)公式?∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1 [2] 。

應(yīng)用

生活中的應(yīng)用等比數(shù)列在生活中也是常常運(yùn)用的。如：銀行有一種支付利息的方式——復(fù)利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在下一期的利息，也就是人們通常說的“利滾利”。按照復(fù)利本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。隨著房?jī)r(jià)越來越高，很多人沒辦法像這樣一次性將房款付清，總是要向銀行借錢，既可以申請(qǐng)公積金也可以申請(qǐng)銀行貸款，但是如果還款到一定時(shí)間后想了解自己還得還多少本金時(shí)，也可以利用數(shù)列來自己。眾所周知，按揭貸款(公積金貸款)中一般實(shí)行按月等額還本付息。下面就來尋求這一問題的解決辦法。若貸款數(shù)額 a0 元，貸款月利率為 p，還款方式每月等額還本付息 a 元，設(shè)第 n 月還款后的本金為 an，那么有：a1=a0(1+p)-a;a2=a1(1+p)-a;a3=a2(1+p)-a;......an+1=an(1+p)-a,.... 將其變形，得(an+1-a/p)/(an-a/p)=1+p。由此可見，{an-a/p} 是一個(gè)以 a1-a/p 為首項(xiàng)，1+p 為公比的等比數(shù)列。其實(shí)類似的還有零存整取、整存整取等銀行儲(chǔ)蓄借貸，甚至還可以延伸到生物界的細(xì)胞細(xì)胞分裂。 [3]

數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例1設(shè)ak，al，am，an是等比數(shù)列中的第k、l、m、n項(xiàng)，若k+l=m+n，求證：ak*al=am*an證明：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則：ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)所以：ak*al=a^2*q^(k+l-2)，am*an=a^2*q(m+n-2)，故：ak*al=am*an說明：這個(gè)例題是等比數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，它在解題中常常會(huì)用到。它說明等比數(shù)列中距離兩端(首末兩項(xiàng))距離等遠(yuǎn)的兩項(xiàng)的乘積等于首末兩項(xiàng)的乘積，即：a(1+k)·a(n-k)=a1·an對(duì)于等差數(shù)列，同樣有：在等差數(shù)列中，距離兩端等這的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和。即：a(1+k)+a(n-k)=a1+an。

例2在等差數(shù)列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a9-a10=( )A.20 B.22 C.24 D28解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知條件得：5a8=120，a8=24而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故選C。

例3設(shè)Sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和，S9=18，a(n-4)=30(n>9)，Sn=336，則n為( )A.16 B.21 C.9 D.8解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+a(n-4)=a1+an=2+30=32，而，故n=21選B。

例4設(shè)等差數(shù)列滿足3a8=5a13，且a1>0，Sn為其前n項(xiàng)之和，則Sn(n∈N*)中較大的是( )。 (1995年全國(guó)高中聯(lián)賽第1題)(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21解：∵3a8=5a13∴3(a1+7d)=5(a1+12d)故a1=-19.5d令an≥0→n≤20;當(dāng)n>20時(shí)an<0∴S19=S20較大，選(C)注：也可用二次函數(shù)求較值。

例5將正奇數(shù)集合{1，3，5，…}由小到大按第n組有(2n-1)個(gè)奇數(shù)進(jìn)行分組：{1}， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…(先進(jìn)組) (第二組) (第三組)則1991位于第_____組中。【1991年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第3題】解：依題意，前n組中共有奇數(shù)1+3+5+…+(2n-1)=n^2個(gè)而1991=2×996-1，它是第996個(gè)正奇數(shù)。∵31^2=961<996<1024=32^2∴1991應(yīng)在第31+1=32組中。故填32。 [2]

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